三角函数内容规律 _%2h-_
#}e$-vcT.
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. \l9l]Fhg@
ZGT0OEk
1、三角函数本质: $(_a&L.%
U*>`'^3
三角函数的本质来源于定义 jCnQiVv7
1mV7`cr!x
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 @)JI|
|/U8PoV/
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 (r,IE6a0>
rPj<5=G5q
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: /m{`9
l]PYV7}#p
推导: %r<jRH
8BL$b @=
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 5:T@$
tFu@\@"^=
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) o"@z|[Nx
k9iI [^YlR
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) =i;A\C>
eG$ j
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 %)7VKCjs
iV~U$E
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) LOAUZkA4zw
6ylOJ"
[1] 2.foPzlS
V^F6b j
两角和公式 wDZEm|P
T| 0feP
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB KQZW^W+
;
g;%\Q,^_
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB uNk_.}8>
LCBh&<
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB <7L~>D4D
!oB8"
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB JZC9mM~.;
vjl:54
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ]r+,|?z/J
GVV9CPT
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) }r.I8T
4NzE"(#5,
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) RoOR&~q>
B3
;A?B]
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) cf=]('iv'
?c!SXK
倍角公式 )#PVF>[F
8$|1u
p#zO
Sin2A=2SinA•CosA Yloe"[_
8!T 56uV
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 5KT4Tah
n?e#H^
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) Nr_#0}{"a
<rZ\UdT)
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 4Jf !/ '
+|$]_jsU
三倍角公式 M+u|iIJ
()}jEkXs
S
)>qFBTVD
1O=&VK
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 4OQpPWa
^:fGeAOd
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) BA:So1)C
9EAolm[
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) p[3s" ~)
9o7=f}1m
三倍角公式推导 o1{:(t U
OqL(e/[o%
sin3a 6>_2QYOQ
b 9Np
I
=sin(2a+a) c<z><U
Z:0iNW .
=sin2acosa+cos2asina " _dzg
vr_ca"@n
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina <7-@.8e:
A?/aunA
=3sina-4sin³a Hu|0`X?
(^X42F%
cos3a ad]73{Q
Oa8+ m\
=cos(2a+a) 'e-,hISK
ujrS>YzH
=cos2acosa-sin2asina @H.x=hG-e
VktRrQQ
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa .Z;u=
;'k9<T3Wz
=4cos³a-3cosa Bh\0}Xt
M{ W hF$~
sin3a=3sina-4sin³a .Rr]c+Ro
!\9 &B
=4sina(3/4-sin²a) e3zfi8 {A
*HVo{l= A
=4sina[(√3/2)²-sin²a] nuRG.1{\
O(gp/h
=4sina(sin²60°-sin²a) E ~rQ- _x
Y8zb<<
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) V#zN
Q`/}oR\,!
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] g2K;1J@ 2
I?.it"bZz
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) oFT'y1oM
R-
cos3a=4cos³a-3cosa &g=*^.L/L
")uE=
=4cosa(cos²a-3/4) xmb%F*e
l~aC$d
=4cosa[cos²a-(√3/2)²]
mv-=+
U~ S!wV
=4cosa(cos²a-cos²30°) Z56"Z4&b+
{_0X&XSs
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) (e<WE8~p]
YF!3ct$
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Yph,}/i
Gq.W64u2Y
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 4<0BqV'O[
:<YlHdYga
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] kE}|Q~I3ZM
nBk)^@43
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] '5&?|j#sD
Bj#u}O.
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) !^i5]PidB
3o&clDl
上述两式相比可得 ;/^@/
Uq@{WU,
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
-X$N
XnR)+7hu
半角公式 gz_g25%0;
34'U
s[{M
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); P^nef-Hz0
S Q=f:
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. a$^^3
SGLE
2V)
和差化积 P9[YiOb
SmZn\(nG
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] PS;x6/6D
dc;u8jBU
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] g1WkL*
No-^601[%
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] uz`RA)
ZErzPPS
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] zi@"4_
}MM^{2@
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) BTv[jDB :
~Kle?6Nn0h
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) cS2ZCTz
HK!?XN
`%
积化和差 St0`lZJdz
5E
k}>k
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] a k*kgG
K3f+9
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 6Y)c'
,TERt
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] WT; bav
t,5gqd\
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 0 9qcS7G
AA&Q%fTv
诱导公式 Gd*c<F\
U==JW[Pm
sin(-α) = -sinα vqRZKo\
t y2}y`?^m
cos(-α) = cosα !Dqj'*\
rwO,
sin(π/2-α) = cosα mu~YHmB_
t79<-#n;
cos(π/2-α) = sinα Hv]4P
a<
5we9(Vb
sin(π/2+α) = cosα -seP19}
jl@i8(\[
cos(π/2+α) = -sinα x=D
F..C5PC
sin(π-α) = sinα e=:aA$-e%g
?WQbY@/w|
cos(π-α) = -cosα UP]NPveh
ycO~ T Z
sin(π+α) = -sinα U8r7='Ii
e<Zb@4~S
cos(π+α) = -cosα L 7B_N?
{A(s)B3LJ
tanA= sinA/cosA V`>xx~Zl
eVLz5%s]
tan(π/2+α)=-cotα wFHN^X=n8
2`=YwOj"R
tan(π/2-α)=cotα IKf{I'!
Lk>{?0.p5j
tan(π-α)=-tanα z&><H'6E
|Usfztv
tan(π+α)=tanα 2QW9j$\Lq{
3TOdFj{
万能公式 zc&_:Ip
S9J8,MO7
\" f4%
kVb8!lx
其它公式 o+"W|Y"
dJbh#
(sinα)^2+(cosα)^2=1 J-/-g.@'
65fL\"EZ
1+(tanα)^2=(secα)^2 Xl&J=q
?T(\:.YD{
1+(cotα)^2=(cscα)^2 Z$h{A jW
Ky
hXv_Ns@
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 U`&E&@l
<.:OWJL
对于任意非直角三角形,总有 6g^W}^^=
?N/CL_"W
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC XZ
%}5e<
?rz
Z"
证: 5N MnVt.9
Y
6
Lp16)
A+B=π-C N=8G"1e}
GU_p/'|
tan(A+B)=tan(π-C) ?s!#\[
&:.
H 0
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Ke(8-
-c =#h K
整理可得 B.Dqt'Tb{
NFtxI0V
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC YB\
q}mK{;VbY
得证 0Kw3G%/zw
2$h^Grx
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 h9C*P29
%Qr3+5
其他非重点三角函数
g}<
ArV
Jzag1f4_z
csc(a) = 1/sin(a) ?u md[
h#hoxT=?
sec(a) = 1/cos(a) ^7(|#;]f
JX9@>h&*
eXb51k
)X5%.\Ap'
双曲函数 9
E'pp+
k\^=R
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 k36:w
o
d4!(T::tG
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 1F|ww>,I
r`*}c8|.X
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) wLrU*V
C
*XG`Z
公式一: yl,H.|v'
73DNnrn/
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: #B/)(V
#Y^2Q-"E_M
sin(2kπ+α)= sinα ez||#^
l,34Eb.gP
cos(2kπ+α)= cosα vsh1,n0
//>{#&IMJ
tan(kπ+α)= tanα *>Z Qi_*
X #
cot(kπ+α)= cotα d<l7h5
g4^~?$
公式二: [d}
b3TF)BI
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: 3'-4_|M
vDGM\>kI
sin(π+α)= -sinα :M^Ml!8],
sIN3[O1D
cos(π+α)= -cosα U?`;-r@08
d
oVo
tan(π+α)= tanα *zaukefB
_-i+'P7
cot(π+α)= cotα spe1_)GX
#`;ER
公式三: HHhK>U
Qt5{/Jg8
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: a=!vC$O
a[3jmN
sin(-α)= -sinα W e\
uV
?ppE:R~{
cos(-α)= cosα h0IU+\~v
URW|<qqH=
tan(-α)= -tanα |3X#r\v
IJb`n<w
cot(-α)= -cotα n#{?XxgJ}
e.?Dw4
公式四:
`h$$+4
&cUw
u
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: #].PRDL
q_U{--f^D
sin(π-α)= sinα 62IWH-W*3
)z-
6g8
cos(π-α)= -cosα ifghJeg
Ba.{<{V4
tan(π-α)= -tanα }BhgB]T'
@v{sHb&
cot(π-α)= -cotα mlLWAjw+
W ShPK
公式五: 6&LnB=SxI
sL,R1KlAM*
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: nnh:kHsFu
]"
h:!9
sin(2π-α)= -sinα V]_.tT@}|
}zy5807]
cos(2π-α)= cosα 3?iDeI_
%|_{R!
tan(2π-α)= -tanα snp?.u[
?p
.YM{*qz.
cot(2π-α)= -cotα .cXE"rYgA
l}DAW'-
公式六: ( HQg>b
KSF
\Xj0]
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: q%+_([Fm4f
)?"<oQd 2
sin(π/2+α)= cosα 2]" ]FV
tO$L'\ u
cos(π/2+α)= -sinα '&vRp{'
tG==(N9'
tan(π/2+α)= -cotα #0AH?j~
:c2g}8b
cot(π/2+α)= -tanα N/'[=OG^
I'*hb`?!
sin(π/2-α)= cosα Dw<[+wLC
>gJacy7*
cos(π/2-α)= sinα gyU~dR
c
K")*"
tan(π/2-α)= cotα <oda
8P+
j
y
yVfP
cot(π/2-α)= tanα m#@uo#c@P
3"oq
b4
sin(3π/2+α)= -cosα 5!'Do#
}L jL7
cos(3π/2+α)= sinα 3pZDT.lPv#
#xt&
*l
tan(3π/2+α)= -cotα ,%_u}O
aW=2Tq-
cot(3π/2+α)= -tanα %w_%jK_0*
7[Xr0$
sin(3π/2-α)= -cosα %=>kf)9ly
[z~j+y`O
cos(3π/2-α)= -sinα 77IQ
'&B;4
CFz~!Ee2b
tan(3π/2-α)= cotα @tyAv0sH
\Pf.+
cot(3π/2-α)= tanα ;i
I7jw
vC.6xj=
(以上k∈Z) 3@QU88fb
Z|#a?N
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 \"~m3~wBe
~>h%a;<
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 5=g\dEWO
OYfXse|m
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } \Z.1OD>U
W+?~7_2\
√表示根号,包括{……}中的内容
迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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