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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 CXjg\W)Cb  
GK.Xsw  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. A~9R]$/q8  
'm [-;i}?  
　　1、三角函数本质： rd82BX  
9J"zkzY  
　　三角函数的本质来源于定义 /YR/** Ny  
'f Gp1f  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 yz*%K|5WqU  
F+h-^]  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 M \#mjmVi  
'KkROW;  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： SNb(W}4  
@ 5 mJ  
　　推导： |*"+L'A>  
O z""'vp,'  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 u@&61ny  
KPz9H()_\  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 4[|{LMP1|  
@ JUXVwa  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) |I\LF=Jy  
.&d~jpx  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 nEf.a~(h  
Q9BGon6  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） +J};__e2  
\P' :H  
　　[1] A;0/!4v  
d#C'eKi~  
　　两角和公式 xj%,~qm  
4/fpG*  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB GsB>f%*TqA  
f0r7i6  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  zQ5Iy"N  
LQ]EF=h 8  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB z:k?5  
=T[J@p 1S  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB t.8Jy(d2-  
v$&s{R!~  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) R;!\ ARn  
p4\\yLh  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) NRcR>A$q:  
gN!H?iX4  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  I@722>PH  
P74LA^  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 5m/wd  
fs/j8'  
倍角公式 #en997;O3  
K-*Vp[~K  
　　Sin2A=2SinA•CosA +YCC)gTUH  
C^v++c;R`  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ! P Z1:$  
L=G)8>?TA  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） y/?< sW  
$I HB!N  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） OX74yN4q  
]{Fw{.[$J  
三倍角公式 HpNW?.?  
EIw]w3^/P  
　　 9-5WEst  
B[~-B\pY$  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ^Go1+-V  
bK1z"7vs  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) { +#&%  
,Kbr .!  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) |Qjt%qZ.  
_bw TTUW  
三倍角公式推导 hQGh%7F]u  
OGri4\upY;  
　　sin3a i_D7d[p~w  
NAs[%=9*:  
　　=sin(2a+a) >h_dEwIBU  
=Tr`^Q  
　　=sin2acosa+cos2asina _?3\3ykT  
_kTl)#A,  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina SfH[LI1:  
lk8R>P$}  
　　=3sina-4sin³a &B_( dmJL  
U6Xy:N2|b  
　　cos3a ]0h6q41|  
]i:]47K4  
　　=cos(2a+a) q5-0xJl<  
r4MB h  
　　=cos2acosa-sin2asina I6ol(+  
gY@{rcBy  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa E};?0b-#  
k\ (& H  
　　=4cos³a-3cosa !P DzP{kX  
qM(`2t?r.  
　　sin3a=3sina-4sin³a zlp>##*  
%=:>T[j  
　　=4sina(3/4-sin²a) &8z /yu h  
t(O+,"ESj(  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] q3+Y_\7~  
Ot3X` ;%  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) RAeYCslB  
@@ e,LE5  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) dTA@,2[  
f *<N6+T&*  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] &Rh: *  
R*h= D%<  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) =:YHQ;1'  
lc~s Y_F.f  
　　cos3a=4cos³a-3cosa >T"AI>H:  
J,ROubA3a  
　　=4cosa(cos²a-3/4) #^<{"LEF  
nrmb ?lTe  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] )Kn\&=  
IV?AI3  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) pr@( ~  
TF4CXp0U  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) iJ i[-;/Yq  
N ;."s7 e  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} }U z\*e}  
daaW"x.T>  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) bfF-H.!$z  
-^~:  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] K k_r%rmS  
4v:fJr  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] *2MF>)\j:  
+PXAeK3  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Q9~O 8g  
z|r~e&  
　　上述两式相比可得 }="Wn?Y'  
FYa |uT  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) B7 <#`  
':*,'E  
半角公式 =?NU> c  
[7aK)X%  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); \jAB[Mm  
#d]S6[N)V  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. =$?f1v(l?  
R1Z#1R  
和差化积 AA]U8F%:v  
%<J.l=cg6K  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] aP;O}=W$  
|L6I$"^p  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] R io)>P  
v3&)_|  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] `hTrEj>  
GV#f6  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] L.H^/j{U  
GtWlHyM9B  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) SV.fZx:IT  
l9>{~ .N  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) S5:((R_  
/+) _tVXI  
积化和差 N;0V"Tfu  
49Cc#VtX  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] i~O-Xo/  
>EiFiK }  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 9*BF[S,>  
/'H ]bco  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] N0|MY\PN  
U<gd~RH  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] TvRq @  
:<UeHE  
诱导公式 GVP XY3x  
jB 8Iw^  
　　sin(-α) = -sinα ^UJU.-/#  
?v97iwI  
　　cos(-α) = cosα HY%p$}JJ  
8pmsi  
　　sin(π/2-α) = cosα K[<Ec$~PK  
K8BoSzP!  
　　cos(π/2-α) = sinα QDxQBzX  
hK#U=3Jy  
　　sin(π/2+α) = cosα 6Gd!pb\  
]!$0xX  
　　cos(π/2+α) = -sinα 2q?qbYeS@  
31Z)u)*+W  
　　sin(π-α) = sinα JN)MZ) =d  
eC?R|L!r7^  
　　cos(π-α) = -cosα MQGaB1Hi=  
uIOh&H5.  
　　sin(π+α) = -sinα b =&{u[F  
7bVKZU{h  
　　cos(π+α) = -cosα k:i,ey8S  
n&Vh~^S  
　　tanA= sinA/cosA q\g9%xdA1  
gT,B p7=  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα /(lc_*F  
Wc=x@i  
　　tan（π/2－α）＝cotα R}TRO  
aYHtj((D0  
　　tan（π－α）＝－tanα cU2*?hJ/  
W{ghmw29+W  
　　tan（π＋α）＝tanα ^"wM~~/@|  
j#&JcZ  
万能公式 p2 B$RQsYF  
hV+;Ayv  
　　 [<}UnS/e  
pR 9 ]V9  
其它公式 BRbc NHr  
1` ^c  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 xtX9:/CCUY  
0&&F3It  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 )!&_iswR  
<f<3.5  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 LT4'tftx  
t\/i+eviQ  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 LwYK;Yi{  
= 4\.tG  
　　对于任意非直角三角形,总有 MDqeRK1-'  
W2)=L+ a  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC "y4NE  
4JC LmQL  
　　证: |A\&IC?\  
n)X^3?&X?  
　　A+B=π-C f?eGM(*  
R=3]' fg  
　　tan(A+B)=tan(π-C) g!p7\OKlJX  
Yub ^9  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 5wcHF>S  
9h?v6q ?]K  
　　整理可得 aP$NjvY  
d?0-I=o.  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ^Urc sQ[  
Ld >5"J  
　　得证 +^!t+=&@  
RsyD n6R  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 D= TAW&  
N SrhO  
其他非重点三角函数 s@AW+u mF  
jupY\H?w  
　　csc(a) = 1/sin(a) et J6*mK  
!g#/w8  
　　sec(a) = 1/cos(a) Z9b l_@,  
%e?81m  
　　 MjN n}Be  
K;m%17@<  
双曲函数 / @ p W  
A8l5rPD>x*  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 p(|C&UW  
s|!P/=`M  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 +Yc%*o-X  
DygQBd]  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) gTsYE'$db  
S_T$JfBol  
　　公式一： }LxRfV  
x{z^m s  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ~xY\+Z<?  
>q`Wzc)<T  
　　sin（2kπ＋α）= sinα =t%&gr '  
)k6})Y  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ')T8OboOQ%  
#Lt]_}H;b  
　　tan（kπ＋α）= tanα Ps34Khq@?  
wr 7:x7EaG  
　　cot（kπ＋α）= cotα wo9NU|j2B  
zO3K2&!p8[  
　　公式二： g/!BMw*f  
(` l7lG#  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ?r8W1Im%  
-Q%[L/Ui  
　　sin（π＋α）= -sinα qh!t,5s  
97Mf[I  
　　cos（π＋α）= -cosα Rv51N!$  
SL JW LhVj  
　　tan（π＋α）= tanα \_0k[}zq  
;?,O= w+I  
　　cot（π＋α）= cotα ,V\XjO  
'XD+X3+  
　　公式三： >w oR w  
hzd9<^m.t8  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： lzrQ:>PBr  
k ?`6=  
　　sin（-α）= -sinα IWk8nl3  
-CJ ;  
　　cos（-α）= cosα ~=^gzgK5U  
&0MwW ~C  
　　tan（-α）= -tanα k}l(P>;  
dR{<m G;  
　　cot（-α）= -cotα >P#=X !4l^  
V- 6{y  
　　公式四： AP_7Q  
4-I"=C  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： J-6%~<  
F.xO##e[  
　　sin（π-α）= sinα w*|, )  
S/(0/?Fo  
　　cos（π-α）= -cosα k]/mi ^s|  
CgP22BXV  
　　tan（π-α）= -tanα ]6UwvPbK  
:\5yTed9;  
　　cot（π-α）= -cotα W>r 1 U  
3#0SR98  
　　公式五： M;<L wm,  
7:on%{d  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 6ut{C6et  
W{]"23g :  
　　sin（2π-α）= -sinα s&p=VtlAi  
"G]lJ 4 i  
　　cos（2π-α）= cosα .9zVP#X  
)Kibq|bLf  
　　tan（2π-α）= -tanα ]SS^,d!H  
dSC_CrUBl  
　　cot（2π-α）= -cotα }^R;*YS\  
z"3_6**+Y  
　　公式六： Q<>`s4r  
Vm0;ly<  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 2naP$"of  
m\ 5JC{  
　　sin（π/2+α）= cosα KN$zo7Z  
GS 7=I  
　　cos（π/2+α）= -sinα q<{:{q+  
|O2&,NW2  
　　tan（π/2+α）= -cotα &%V[z>k  
O<sY#<  
　　cot（π/2+α）= -tanα -wYhtpx{  
ol(niJ 7  
　　sin（π/2-α）= cosα @{BE\b%Hd  
@*U }EI  
　　cos（π/2-α）= sinα \%4#sG.o  
H%$}  
　　tan（π/2-α）= cotα {Fqw_M  
Zsa %mi  
　　cot（π/2-α）= tanα E%!7mkW  
;+ l-r  
　　sin（3π/2+α）= -cosα dCD]JTg  
>dkMZjn  
　　cos（3π/2+α）= sinα ~@v ?dhA  
}3 tKiq??  
　　tan（3π/2+α）= -cotα \_F va]  
bdu8$hO  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 90Xro!  
!FF<Nu  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Ep~}=;L<+@  
zm`ZLQ1)  
　　cos（3π/2-α）= -sinα /4nIQ1d2  
YfH0  
　　tan（3π/2-α）= cotα bA) ~pUYd  
flmh#a-9,  
　　cot（3π/2-α）= tanα YO^8piL\F  
& Z;& ]  
　　(以上k∈Z) ]~vZPpw  
ap$3gK8k  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 V?I;R,  
azUfm,>%  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = h_3Xb0M 4  
Pi!t4[G'  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } x(s'7   
1NxOonq  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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