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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 _%2h -_  
#}e$-vcT.  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. \l9l]Fhg@  
ZGT0OEk  
  1、三角函数本质: $(_a&L.%  
U*>`'^3  
  三角函数的本质来源于定义 jC nQiVv7  
1mV7`cr!x  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。  @)JI|  
|/U8PoV/  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 (r,IE6a0>  
rPj<5=G5q  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: /m{`9  
l]PYV7}#p  
  推导: %r <jR H  
8BL$b @=  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 5:T@$   
tFu@\@"^=  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) o"@z|[Nx  
k9iI [^YlR  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) =i;A\C>  
eG$ j  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 %)7VKCjs  
iV~U$E  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) LOAUZkA4zw  
6ylOJ"  
  [1] 2. foPzlS  
V^F6bj  
  两角和公式 wDZEm|P  
T| 0feP  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB KQZW^W+  
; g;%\Q,^_  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  uNk_.}8>  
LCBh&<  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB <7L~>D4D  
!oB8"   
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB JZC9mM~.;  
vjl:54  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ]r+,|?z/J  
GVV9CPT  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) }r.I8T  
4NzE"(#5 ,  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  RoOR&~q>  
B3 ;A?B]  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) cf=]('iv'  
?c!SXK  
倍角公式 )#PVF>[F  
8$|1u p#zO  
  Sin2A=2SinA•CosA Yloe"[_  
8!T 56uV  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 5KT4Tah  
n?e#H^  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) Nr_#0}{"a  
<rZ\UdT)  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 4Jf !/ '  
+|$]_jsU  
三倍角公式 M+u|iIJ  
()}jEkXs  
   S )>qFBTVD  
1O=&VK  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 4OQpPWa  
^:fGeA Od  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) BA:So1)C  
9EAolm[  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) p[3s" ~)  
9o7=f}1m  
三倍角公式推导 o1{:(tU  
OqL(e/[o%  
  sin3a 6>_2QYOQ  
b9Np I  
  =sin(2a+a) c<z><U  
Z:0iNW .  
  =sin2acosa+cos2asina " _d zg  
vr_ca"@n  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina <7-@.8e:  
A?/aunA  
  =3sina-4sin³a Hu|0`X?  
(^X42F %  
  cos3a ad]73{Q  
Oa8+ m\  
  =cos(2a+a) 'e-,hISK  
ujr S>YzH  
  =cos2acosa-sin2asina @H.x=hG-e  
VktRrQQ  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa .Z;u=  
;'k9<T3Wz  
  =4cos³a-3cosa Bh\0}Xt  
M{ W hF$~  
  sin3a=3sina-4sin³a .Rr]c+Ro  
!\9 &B  
  =4sina(3/4-sin²a) e3zfi8 {A  
*HVo{l= A  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] nuRG.1{\  
O(gp/h  
  =4sina(sin²60°-sin²a) E ~rQ-_x  
Y8zb<<  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) V#zN  
Q`/}oR\,!  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] g2K;1 J@ 2  
I?.it"bZz  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) oFT'y1oM  
 R-  
  cos3a=4cos³a-3cosa &g=*^.L/L  
")uE=  
  =4cosa(cos²a-3/4) xmb%F*e  
l~aC$d  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] mv-=+  
U~ S!wV  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) Z5 6"Z4&b+  
{_0X&XSs  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) (e<WE8~p]  
YF!3ct$  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Yph,}/ i  
Gq.W64u2Y  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 4<0BqV'O[  
:<YlHdYga  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] kE}|Q~I3ZM  
nBk)^@43  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] '5&?|j#sD  
Bj#u}O.  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) !^i5] PidB  
3o&clDl  
  上述两式相比可得 ;/^@/  
Uq@{WU,  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)  -X$N  
XnR)+7hu  
半角公式 gz_g25%0;  
34'U s[{M  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); P^nef-Hz0  
SQ=f :  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. a$^ ^3  
SGLE 2V)  
和差化积 P9[YiOb  
SmZn\(nG  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] PS;x6/6D  
dc;u8jBU  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] g1W kL*  
No-^601[%  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] uz`RA)  
ZErzPPS  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] zi@"4_  
}MM^ {2@  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) BTv[jDB :  
~Kle?6Nn0h  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) cS2ZCTz  
HK!?XN `%  
积化和差 St0`lZJdz  
5E k}>k  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] a k*kgG  
K3f+9  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 6Y)c'  
,TERt  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] WT; bav  
t,5gqd\  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 0 9qcS7G  
AA&Q%fTv  
诱导公式 Gd*c<F\  
U==JW[Pm  
  sin(-α) = -sinα vqRZKo\  
t y2}y`?^m  
  cos(-α) = cosα !Dqj'*\  
rwO ,  
  sin(π/2-α) = cosα mu~YHmB_  
t79<-#n;  
  cos(π/2-α) = sinα Hv]4P a<  
5we9(Vb  
  sin(π/2+α) = cosα -seP19}   
jl@i8(\[  
  cos(π/2+α) = -sinα x=D  
F..C5PC  
  sin(π-α) = sinα e=:aA$-e%g  
?WQbY@/w|  
  cos(π-α) = -cosα UP]NPveh  
ycO~T Z  
  sin(π+α) = -sinα U8r7='Ii  
e<Zb@4~S  
  cos(π+α) = -cosα L 7B_N?  
{A(s)B3LJ  
  tanA= sinA/cosA V`>xx~Z l  
eVLz5%s]  
  tan(π/2+α)=-cotα wFHN^X=n8  
2`=YwOj"R  
  tan(π/2-α)=cotα IKf{I'!  
Lk>{?0.p5j  
  tan(π-α)=-tanα z&><H'6E  
|Usfztv  
  tan(π+α)=tanα 2QW9j$\Lq{  
3TOdFj{  
万能公式 zc& _:Ip  
S9J8,MO7  
   \"f4%  
kVb8!lx  
其它公式 o+"W|Y"  
dJbh#  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 J-/-g.@'  
65fL\"EZ  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 Xl&J=q  
?T(\:.YD{  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 Z$h{A jW  
Ky hXv_Ns@  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 U`&E&@l  
<.:OWJL  
  对于任意非直角三角形,总有 6g^W}^^=  
? N/CL_"W  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC XZ %}5e<  
?rz Z"  
  证: 5NMnVt.9  
Y 6 Lp16)  
  A+B=π-C N=8G"1e}  
GU_p/'|  
  tan(A+B)=tan(π-C) ?s!#\[  
&:. H 0  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Ke (8-  
-c=#h K  
  整理可得 B.Dqt'Tb{  
NFtxI0V  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC  YB\  
q}mK{;VbY  
  得证 0Kw3G%/zw  
2$h^Grx  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 h9C*P29  
%Q r3+5  
其他非重点三角函数 g}< ArV  
Jzag1f4_z  
  csc(a) = 1/sin(a) ?u md[  
h#hoxT=?  
  sec(a) = 1/cos(a) ^7(|#;]f  
JX9@>h&*  
   eXb51k  
)X5%.\Ap'  
双曲函数 9 E'pp+  
k\^=R  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 k36:w o  
d4!(T::tG  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 1F|ww>,I  
r`*}c8|.X  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) wLrU*V  
C *XG`Z  
  公式一: yl,H.|v'  
73DNnrn/  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: #B/)(V  
#Y^2Q-"E_M  
  sin(2kπ+α)= sinα ez||#^  
l,34Eb.gP  
  cos(2kπ+α)= cosα vsh1,n0  
//>{#&IMJ  
  tan(kπ+α)= tanα *>ZQi_*  
X#  
  cot(kπ+α)= cotα d<l 7h5  
g 4^~?$  
  公式二: [d}  
b3TF)BI  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: 3'-4_|M  
vDGM\>kI  
  sin(π+α)= -sinα :M^Ml!8],  
sIN3[O1D  
  cos(π+α)= -cosα U?`;-r@ 08  
d oVo  
  tan(π+α)= tanα *zaukefB  
_-i+'P7  
  cot(π+α)= cotα spe1_)GX  
#`;ER  
  公式三: HHhK>U  
Qt5{/Jg8  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: a=!vC$O  
a[ 3jmN  
  sin(-α)= -sinα W e\ uV  
?ppE:R~{  
  cos(-α)= cosα h 0IU+\~v  
URW|<qqH=  
  tan(-α)= -tanα |3X#r\v  
IJb`n<w  
  cot(-α)= -cotα n#{?XxgJ}  
e.?Dw4  
  公式四:  `h$$+4  
&cUw u  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: #].PRDL  
q_U{--f^D  
  sin(π-α)= sinα 62IWH-W*3  
)z- 6g8  
  cos(π-α)= -cosα ifghJeg  
Ba.{<{V4  
  tan(π-α)= -tanα }Bhg B]T'  
@v {sHb&  
  cot(π-α)= -cotα mlLWAjw+  
W ShPK  
  公式五: 6&LnB=SxI  
sL,R1KlAM*  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: nnh:kHsFu  
]" h:!9  
  sin(2π-α)= -sinα V]_.t T@}|  
}zy5807]  
  cos(2π-α)= cosα 3 ?iDeI_  
%|_ {R!  
  tan(2π-α)= -tanα snp?.u[ ?p  
.YM{*qz.  
  cot(2π-α)= -cotα .cXE"rYgA  
l}D AW'-  
  公式六: ( HQg>b  
KSF \Xj0]  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: q%+_([Fm4f  
)?"<oQd 2  
  sin(π/2+α)= cosα 2]" ]FV  
tO$L'\u  
  cos(π/2+α)= -sinα '&vRp{'  
tG==(N 9'  
  tan(π/2+α)= -cotα #0AH?j~  
:c2 g}8b  
  cot(π/2+α)= -tanα N/'[=OG^  
I'*hb`?!  
  sin(π/2-α)= cosα D w<[+wLC  
>gJacy 7*  
  cos(π/2-α)= sinα gyU~dR c  
K")*"  
  tan(π/2-α)= cotα <oda 8P+  
j y yVfP  
  cot(π/2-α)= tanα m#@uo#c@P  
 3"oq b4  
  sin(3π/2+α)= -cosα 5!'Do#  
}L jL7  
  cos(3π/2+α)= sinα 3pZDT.lPv#  
#xt& *l  
  tan(3π/2+α)= -cotα ,%_ u}O  
a W=2Tq-  
  cot(3π/2+α)= -tanα %w_%jK_0*  
7[Xr0$  
  sin(3π/2-α)= -cosα %=>kf)9ly  
[z~j+y`O  
  cos(3π/2-α)= -sinα 77IQ '&B;4  
CFz~!Ee2b  
  tan(3π/2-α)= cotα @tyAv0sH  
\Pf.  +  
  cot(3π/2-α)= tanα ;i I7jw  
vC.6xj=  
  (以上k∈Z) 3@QU88fb  
Z|#a?N   
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 \"~m3~wBe  
~ >h%a;<  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 5=g\dEWO  
OYfXse|m  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } \Z.1OD>U  
W+?~7_2\  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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