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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 -GOz /l  
)WXT*dL  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. &Z 9f%<  
17GR` dT  
　　1、三角函数本质： X|V C.;Y%  
M r-! G?a  
　　三角函数的本质来源于定义 a)^)c=k  
xd%@ ^,R  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 f <zd.w A  
.|y*Z-n[U  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 /~Tqxl!Wm  
eniuJG6wv  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： *KU&' _.  
Fk_kR4w!  
　　推导： Z-?u j~Y  
 DRb.b  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Nb[MO'f9  
dL8fn{@3  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ;eL3V>1~w  
. tdTZ (  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) sJDu |.F  
4~E%cl-JS  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 5 c M  
JR(p-oC`5  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） h0!{jS#  
*]{ppsL  
　　[1] tC<9 LS Bp  
j s.H)  
　　两角和公式 N\=pkkNP/  
?f)gL<N$  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 5{f$ Ze5  
^;6dQxfu  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  +^HSFIP  
g}f'~Gb9e  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB N}CXYA$$  
"mo$&%}  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB .v+<,by2  
"J{=p%ss  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 7y|b*|%  
4K9X'  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) WQul-cEs9  
36iuh`d&  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  CpWbV" <  
cV2(br/k=  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 4^l{xkgc  
vGODs@6l  
倍角公式 }DwQm)}  
G"H7xx V  
　　Sin2A=2SinA•CosA qWXI+,{  
L?n^,rKk  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 bAq3@nl  
@_qgKRDe  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） .;]tA 2S  
&k98oP+'  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Y5nD\s TD  
gy2] rmOC  
三倍角公式 nq^^Efj  
rs&c~n(]0\  
　　 ! b&a=e  
xbDg<H5  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) OMprlWjb~K  
'"8jG@u  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) b]oo|<?  
CbnU:u\A1  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Z1u *9Q  
A!%Y tAI  
三倍角公式推导 4B@n!7  
Nv9o`tBm  
　　sin3a 1 je*Tw^  
I= v.O&k  
　　=sin(2a+a) EihfSp)a  
+=o-yz PL  
　　=sin2acosa+cos2asina (*K=z)J(  
*93uWFHBw  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina [H 92j  
}HF;lJq2  
　　=3sina-4sin³a ( `__0tb  
4[u3H&  
　　cos3a c\ J-H  
)|SLWP2m  
　　=cos(2a+a) :%;"ek  
F2|U>J4.2n  
　　=cos2acosa-sin2asina wZNISK^  
;3p-].og  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa LB.Hh7>`  
7x)1+$iUgg  
　　=4cos³a-3cosa "Oc 8]uiA  
N[ZnqsM  
　　sin3a=3sina-4sin³a %PW(Q,'  
2 SfDJMQ   
　　=4sina(3/4-sin²a) z@( OoJ  
Y.Z 'U  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] =Y( QO  
4GKsiw-  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 2M^&N{ d:  
4[pR{>AQ  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) x,_Pv  
rX fe}y  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] +^&FKG'  
Q7Bp:d9  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) WJMiE9&@E  
rc+AC2  
　　cos3a=4cos³a-3cosa _k9?7T".?N  
^nkdn2tX  
　　=4cosa(cos²a-3/4) F;&b)n  
*v*e0A1*el  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] YViX~#-:mc  
@,q4Bj  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) M;g<5,V8hp  
x.S`jl5Cy~  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) n{Cw,n=/2  
-bSw@5mB  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 5J)-_2h  
/ o5Cr?  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) >u#z|Eu  
M"vR=:2P  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] KvRGdT{@  
ABq~f:J  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] EJ6 4Zdp3  
ldkG;N6 G|  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ~={Tx }3  
k >M:?U(P  
　　上述两式相比可得 vn"h)a7d*  
PE)kZ8*t  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) L^x.5;p^m=  
T,*/9  
半角公式 f`t*3  
!%-h)jf  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); V\8&3 x,  
CJ  gV]  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. l<f2J$::  
 v)N(UR  
和差化积 \ IO}<{MV  
.n.)kV(  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] e?.C`E5MZ  
2D [N  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ;$$   
b[9"1\r  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1nX2-'DK  
[KM<~u>t  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] +c"63yN)ul  
1I;ZylZ  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) {~=BQ C  
NC%z!Gc> r  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) G>c_0  
5JUR'dY  
积化和差 $4~u0?Z%)  
!hA|Kh9?V  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] l]9D'&4U  
%yad Pj^  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] }N@>-suF  
i9e98${v^  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] VB=Dr)Nfy  
jl tBG  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] w1G\WUS(  
E{D)'I-m8  
诱导公式 qC<M.0  
`"x8z4st#Q  
　　sin(-α) = -sinα aviKe.oNH  
{ 7d qO  
　　cos(-α) = cosα DH|=ui=<  
 tvPA  
　　sin(π/2-α) = cosα ^|00NSK/  
(<Fi(% +  
　　cos(π/2-α) = sinα +g&)?[evS  
<ojH]SP  
　　sin(π/2+α) = cosα wV<iU.6WX  
(p v.c  
　　cos(π/2+α) = -sinα W2M3 oihN  
Xh]]{GW"  
　　sin(π-α) = sinα 7 *fz  
9-q@FlJ>;  
　　cos(π-α) = -cosα 8A+*4)S%<  
aV*L :10x  
　　sin(π+α) = -sinα (vO`o0J a  
S]gO ;^-W  
　　cos(π+α) = -cosα r}14Jnu  
-9";(3  
　　tanA= sinA/cosA *h;z}K{  
\AYixR7  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Q9G~OZiL:  
|Y(E  
　　tan（π/2－α）＝cotα vG_Qxl!$  
[q^a$HRum  
　　tan（π－α）＝－tanα 2^tfipBlr  
L1}= nN  
　　tan（π＋α）＝tanα ,?)3pLK  
 > A./  
万能公式 n"ZZW""I  
IoHv?%*\9  
　　 w3(#y/QF  
aqK,7#u?  
其它公式 V(3!'P`*  
$FvW.RbIG  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Btnk8^9  
czJ*jKVh  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 _'T>Vf  
_:<.5<wG  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 T_UY@+  
G /2rZW>4  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 PIOEQ'{b  
|=<T"/\22  
　　对于任意非直角三角形,总有 vIV.Fw4  
|NbODla-q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ]Bg&?D Gj  
$bv<m4 y  
　　证: Yc ?X sls  
p BFsG(  
　　A+B=π-C Cv{w8iXA  
HuM|TgDKA  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ?D=uLOS  
,)D`t)  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) d?e(BE  
t@ T3>DhgI  
　　整理可得 :9NV*tD  
NOND^X  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC a)Lagk]~j  
uKcl1FNW  
　　得证 {*.(G}$H  
asohz  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 # hAvIZb7  
%=jmCB0bT  
其他非重点三角函数 FC{2 \D  
D<bX<Pni  
　　csc(a) = 1/sin(a) ~['${mb)R  
#.mP Q  
　　sec(a) = 1/cos(a) a gc|g  
Z2-d.&]o  
　　 LLv p!;+  
7)&gm9e8  
双曲函数 znl6|]d "  
vjY32 TUyl  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Us{-,thEI  
+N:=K, y  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 O7:E^zfB~  
57MQiJiKQ  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) _>f}T9cT  
rO+Q'_mo  
　　公式一： A.[@Q f5  
(o(*gIl`*  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： >-Jo2^c  
3f/qw=^  
　　sin（2kπ＋α）= sinα :,zTFr3%  
J5II $|W  
　　cos（2kπ＋α）= cosα _hQLtK  
jU<,1I\  
　　tan（kπ＋α）= tanα @2)?ShW  
A {4#_OYo  
　　cot（kπ＋α）= cotα K|' z}!^9=  
?s_lQm\K  
　　公式二： *W w\|e  
%9H~[:N  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： T}&J)#  
 @ .)6&Z)  
　　sin（π＋α）= -sinα CHb8z|s^  
F7{!Tqp8^3  
　　cos（π＋α）= -cosα F7 \ +%  
x*|*>YH~  
　　tan（π＋α）= tanα H <Zank3#4  
MK%+:K`~  
　　cot（π＋α）= cotα I9BsGpO  
4Pl!p NRg"  
　　公式三： C%lxg!(  
e<gl^*d  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： inmY;zs`u  
sD|W3'2A#  
　　sin（-α）= -sinα bY j/^!.z  
-Be9c]GEA(  
　　cos（-α）= cosα }ap\(_  
j<nr,; +F+  
　　tan（-α）= -tanα [!ATf7  
-LJ q   
　　cot（-α）= -cotα Gg&[MSA1  
T|T2W}R  
　　公式四： +-f>`2&Ip  
Bj i \~~  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： t@I}&b@'#  
Xm{8e  
　　sin（π-α）= sinα ZeY[|`4  
9^RNiJ2  
　　cos（π-α）= -cosα LWoX .x} ,  
9B?(  
　　tan（π-α）= -tanα b=ch00_(  
M 3lvw-  
　　cot（π-α）= -cotα Fi D%%wAV  
wORA$"f`  
　　公式五： Y(5{qeU  
GZ/\iQ>p  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： $Dbs~"8h  
aU3f2)4;  
　　sin（2π-α）= -sinα ag)z]'I   
~pICH",t  
　　cos（2π-α）= cosα sLFU|jL  
]-(5$=&F{  
　　tan（2π-α）= -tanα |T9SWx'  
1O3N:FY  
　　cot（2π-α）= -cotα UBF!T^WR  
KogIj  
　　公式六： C0`X|d {  
8SbxVe  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： {I<w[[M@p  
_"L-Ma(quA  
　　sin（π/2+α）= cosα 3ia}oM!  
 gE8j  
　　cos（π/2+α）= -sinα y/w<eq  
e(C GW24  
　　tan（π/2+α）= -cotα / TY*,]  
`Lj,agco4  
　　cot（π/2+α）= -tanα Qa2` <r  
_O"7}Q.j  
　　sin（π/2-α）= cosα 4Q~9cF/!E4  
lBw,n^T#  
　　cos（π/2-α）= sinα n%qA  
-&k&#` J0?  
　　tan（π/2-α）= cotα QP2_gyJ  
;N!duA%"*  
　　cot（π/2-α）= tanα R[#["  
D~0h.  
　　sin（3π/2+α）= -cosα RYbssqSu9  
O_x *{}eH]  
　　cos（3π/2+α）= sinα e*q!R;}B  
4CYCz+  
　　tan（3π/2+α）= -cotα MX;4 PK  
R$=~H2m^  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ?@T|2xu k  
yPx`2VS  
　　sin（3π/2-α）= -cosα sSzoeB  
6D~UG  
　　cos（3π/2-α）= -sinα I_4 rx/  
G_[2gsqe  
　　tan（3π/2-α）= cotα h{1Q&/vr  
PUhXDH  
　　cot（3π/2-α）= tanα :'p!I#e  
)<6'@4  
　　(以上k∈Z) gHlfr, C 2  
a@:L *Ds  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 cPvoc JS  
c{voNj0`C  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = {6vI1l4\  
 C  ,{n  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } S OXS  
U* _hX+A}1  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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