三角函数内容规律 NZKa hS
r
oM?'U
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. s%<dfw>
4
M~jyV)
1、三角函数本质: t-fsWY1n
`3't+m=;b
三角函数的本质来源于定义 ;Y PK=%D
T6l5?_L<
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 }
<_`)s
^N|FLT
I{)
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 ~(h1'dzn
qE(O,0&
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: hHP^Au9
D
7S&iX
推导: EB1<r%lqA
C <!mr7ql
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 J$#=hd
l? oO
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 2x2]h&lmF
asO;pX
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) /y!EIgrj
::[uQ~
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 2X#?ZF
=W9Xk2{l
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) u~oH/,!]3
@^!qX{*
[1] $Jb0v<{]e
;;HJn4&K|
两角和公式 xX.6KF(o0.
0}m6tt
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB |vI7u
\$vJY "
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB fXx4g( X
L ;-5#BAN(
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB -!mL@`'
qZ5F`NG"f
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB iA?cbTY3
P$Zek
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) (s>Zcc
}-.xn@
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) fHZ;GP
F8h7,;R*{
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) Qor?N@z*"
d SJkcHE
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) W2;Il%|
G ndZx
倍角公式 J"W4l!:1
(>@{kK
Sin2A=2SinA•CosA *er"e[ed
o/l 8;.B
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 f+2U! 9{{Y
=~xeK]/D
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) =4W:$.>Z
j9qgGme
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) MFF(
idUz-[cAN
三倍角公式
A"`w3?5
1q`]NKAL
4q)i[M.
#GCR#r
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) %ubw-O
Q
$E<{#
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) G1Y#6
p*vv4k,!
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) *qCjS!rYb
b!X9gCk:
三倍角公式推导 kC3[PJ\
Zb*
]#!
sin3a 0c^$Ux
zZw%=%$/
=sin(2a+a) +H>,quy
0k<H,?Fr1
=sin2acosa+cos2asina y9vt=7cE1'
6
d C
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina
1zsbXoKs
7'YL
"}Y
=3sina-4sin³a z+5HrBv
t
cdVw[o
cos3a oQ%lI9=7
DEL!_K7F
=cos(2a+a) Z'~lr
- { Q\K
=cos2acosa-sin2asina F-Fa8*?4<
znT-KCu
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa bw$VRcTT~_
t{uT{b}j`
=4cos³a-3cosa RFbC5)t"
iLA$Q2,
sin3a=3sina-4sin³a &Kvg@R.e$
{3P8i|
=4sina(3/4-sin²a) 0-]/K
$A|*N$%c?
=4sina[(√3/2)²-sin²a] H51Q
Q
()
RIX_
=4sina(sin²60°-sin²a) 4:M^=3
~b)WU^Q/K
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) @9)N7XdE.
!?k+7c
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] cM V+rIVR
\
g; P4
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) a ^HO&i}
+V6g+U
cos3a=4cos³a-3cosa 2scnwgOV
>Z.X<u
=4cosa(cos²a-3/4) s1>_gU
:G
_1]/
u*Q"
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 64gUx1)
euTz { Sv
=4cosa(cos²a-cos²30°) +wZq&EL
87en
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 1u}Ly6oR
gLb!n 3
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} sPQ"oEgzE
g]73j2WF
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 3l=*ZXi
bCGZsC{_
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] <N:)1:44E
7no E.M,
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] xI
E%G>OY
ZT^M:Q
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) eLXIfh&
^ kHz$=.
上述两式相比可得 jOixM)"cW
X@G4v-Z
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) )6W:D6Ixd
o?@f
半角公式 .*wU/zf
2wm?TU"_
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); !mN{
~bw
`z-bf,] k
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. #C&Q-Oz
> /,-+8
和差化积 *[mC.<
HNhA%
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] lv,$H}U
1"R19:
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] V"j'5(_9
y1dr"M<$.L
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ,~/n7/[Te>
W&1@=s?2 R
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] APoJ
KlK-;
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) kf Q:T#z}
=p$ARoh~
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 5'W1[3P:
x! ^[Bc
积化和差 M$|^nKA3
.TlaWCt
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] `_e:_g
.?u&(2
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] yrGT6jK[
p4.dqGeU
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 5i!Oi}!x
ZOI[Aj
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 6Qu E`np'
UZ?CC`_ `
诱导公式 lE]R~PE
cUiG#(tcm
sin(-α) = -sinα <@0YR'.
|!
q3F[Q
cos(-α) = cosα xC<DIlp';
sZ=<5E
sin(π/2-α) = cosα ivJfV,-
jqPFj{vC~
cos(π/2-α) = sinα VfbjXb]&k
!=c6>
sin(π/2+α) = cosα k) W -R
1,KdM'y
cos(π/2+α) = -sinα 2L7o@3C
z{ M8$|@_
sin(π-α) = sinα 7(BTAdz$(
hZ#&jsO
cos(π-α) = -cosα @GC~O6-K
w[v/J
sin(π+α) = -sinα 1(Z
yw}}
,7qS"rG(
cos(π+α) = -cosα MtO|4
H.B~kdv
tanA= sinA/cosA 2.eL{o"T+
- ?=!]
tan(π/2+α)=-cotα _C/8]UNMS)
srDX{MF_q
tan(π/2-α)=cotα mcQk P
6J>#f7
E
tan(π-α)=-tanα ~Z`wQ=H'?
ilNQ'>W~{W
tan(π+α)=tanα /E 5#Z2
m6 7 r
万能公式
.CA"g y7
x2"0~=If
3%rS@
0m
.<NDlc
其它公式 %kIE;0=~
J!'D:zmL
(sinα)^2+(cosα)^2=1 " 3a
$v00
xX8:~>aICL
1+(tanα)^2=(secα)^2 kkGbh}<q
h[e}"*Z^_w
1+(cotα)^2=(cscα)^2 <QET9:
%E@Z71>ZR*
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 V|-p1ORYp
|'zcb
对于任意非直角三角形,总有 %+Abr4D_
wF }y&;1W
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 4lXD3V``*
O3\yTqZ
证: 9BSK1VQ
~9s|t0?N
A+B=π-C p?vKBB<
RN08/t
tan(A+B)=tan(π-C) _2s '`:U
Qr'WNiwp7Q
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 0#-EF2t
3P*7~\~
整理可得 _ha%y.+
6M0>j C"_
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 4qov]e3]
~xWX,7j(R
得证 PX8~gSo
GC+
Xi`z
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 2|3Dma90
JhS7ZR:dc
其他非重点三角函数 8Sj,XI
a.K3h
csc(a) = 1/sin(a) ?_0[A0Le
_1.oOiT:
sec(a) = 1/cos(a) &a;L[~4z
xwKl|/)(Y
*v"<N8eSF
)Ls5W(!|
双曲函数 ?c[2*:HO5
2QZ7)S!u^
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 f0Vz3PX
/CeV\)
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ez\p #|@L
/xJ7 _mB
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) dH{KhFY{'.
bO-%B\p
公式一: s;G0k2-
P=d+Q,w%6-
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: ;PI>OMvH
=;~yxJf
sin(2kπ+α)= sinα )_><Z\BNC
8V
m7.
cos(2kπ+α)= cosα yGsr y Um
oI[]%vI
tan(kπ+α)= tanα 6ez*N`jN.
-6zcJa
cot(kπ+α)= cotα }v45?"D]:
Te!$Hnz
公式二: (j\ADa>
eteFOO;
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: f
,gaNEEZ
x'&iDa|
sin(π+α)= -sinα r4K9X/rq#
i[z
jg
cos(π+α)= -cosα %/,hW,IIB
Mt!}SSp
tan(π+α)= tanα ]( uEbX/
8sh]Z*L+y
cot(π+α)= cotα ~VUj!X;[K
g_
^bJ T
公式三: }ztVSho~
C.?24e#A
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: Y1<*
Oh%[
,;EV0f0@
sin(-α)= -sinα 24?yM`Et
yGo3:\lm
cos(-α)= cosα
;SsH~_o
B(3)X:/9#
tan(-α)= -tanα O%;-"z
0v[k}aE<
cot(-α)= -cotα PJ]]D~_
<OSVp7TR
公式四: xt3xXIKU
Lk ]c i i
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: EE$m9h|;
(/[p7&l3
sin(π-α)= sinα N0J;6On,4%
La?:6u=
cos(π-α)= -cosα CTo:p7
e~1{-7%l
tan(π-α)= -tanα .~oAiBlo
#]ua+%Q
cot(π-α)= -cotα +d@:hs#n
&a\8|Yl2
公式五: ki%vVtR"V
= sa>&5E
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: G9p ^
M} kc6+
sin(2π-α)= -sinα l mtJQLr
[r;`%LELZ
cos(2π-α)= cosα ]%v5/7kc
jV'>mogd
tan(2π-α)= -tanα <?!1DPp}
iul"//GP:
cot(2π-α)= -cotα LZnq3KaC
*8nWa|B1W
公式六: `A.G+_^0
Wyt{J2sm
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: W&+%Bn]b
f4W+FzDn)
sin(π/2+α)= cosα W@B
v?7$
_;C)b,:lp
cos(π/2+α)= -sinα Ve]]zB n
u[C+tc7
tan(π/2+α)= -cotα gjW{ X}
z?X,2t)
cot(π/2+α)= -tanα a<tV
'
Sf[Wo
sin(π/2-α)= cosα NJ$\)7Cp
`q"zd
%r}
cos(π/2-α)= sinα q>rI,{]PG
"3gYU
tan(π/2-α)= cotα 2nX1{_j
9xY{%pIlo
cot(π/2-α)= tanα /%s|5)kP
9Iet/u/
sin(3π/2+α)= -cosα wd }Z
EBp/=hMD
cos(3π/2+α)= sinα g=g2DJ~=|
4 01^
tan(3π/2+α)= -cotα ?BBQgF
4AoWKe5
cot(3π/2+α)= -tanα /(I$3DGU-
U\8c3gQ:
sin(3π/2-α)= -cosα ,uUuT)7m
a"}a:RF.
cos(3π/2-α)= -sinα Xrn`:e
$D52mPDaJ`
tan(3π/2-α)= cotα <%4
1e}P
B%X
tI?
cot(3π/2-α)= tanα aF#Yq.@I
E>A/eB'9s
(以上k∈Z) e? 5KnS"*
SM**~:C
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 T?:sz"#
x)L$G3
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ?(ZIEAT
/4`>KMN8
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } hZb]iTB6
6D>_tf*
√表示根号,包括{……}中的内容
迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
一共有 0 条评论