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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 NZKa hS  
r oM?'U  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. s%<dfw> 4  
M~jyV)  
  1、三角函数本质: t-fsWY1n  
`3't+m=;b  
  三角函数的本质来源于定义 ;Y PK=%D  
T6l5?_L<  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 } <_`)s  
^N|FLT I{)  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 ~(h1'dz n  
qE(O,0&  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: hHP ^Au9  
D 7S&iX  
  推导: EB1<r%lqA  
C <!mr7ql  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 J$#=hd  
l? oO  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 2x2]h&lmF  
asO ;pX  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) /y!EIgrj  
::[uQ~  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 2X#?ZF  
=W9Xk2{l  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) u~oH/,!]3  
@^!qX{*  
  [1] $Jb0v<{]e  
;;HJn4&K|  
  两角和公式 xX.6KF(o0.  
0}m6tt  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB |vI7u  
\$vJY"  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  fXx4g( X  
L;-5#BAN(  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB -!mL@`'  
qZ5F`NG" f  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB iA?c bTY3  
P$Zek  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) (s>Zcc  
}-.xn@  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) fHZ;GP  
F8h7,;R*{  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Qor?N@z*"  
d SJkcHE  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) W2;Il%|  
GndZx  
倍角公式 J"W4l!:1  
(>@ {kK  
  Sin2A=2SinA•CosA *er"e[ed  
o/l 8;.B  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 f+2U! 9{{Y  
=~xeK]/D  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) =4W:$.>Z  
j9qgGme  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) MFF(  
idUz-[cAN  
三倍角公式 A"`w3?5  
1q`]NKAL  
   4q)i[M.  
#G CR#r  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) %ubw-O Q  
$E<{#  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) G1Y#6  
p*vv4k,!  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) *qCjS!rYb  
b!X9gCk:  
三倍角公式推导 kC3[PJ\  
Zb* ]#!  
  sin3a 0c^$Ux  
zZw%=%$/  
  =sin(2a+a) +H>,quy  
0k<H,?Fr1  
  =sin2acosa+cos2asina y9vt=7cE1'  
6 d C  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 1zsbXoKs  
7'YL "}Y  
  =3sina-4sin³a z+5HrBv  
t cdVw [o  
  cos3a oQ%lI9=7  
DEL!_K7F  
  =cos(2a+a) Z '~lr  
- { Q\K  
  =cos2acosa-sin2asina F-Fa8*?4<  
znT-KCu  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa bw$VRcTT~_  
t{uT{b}j`  
  =4cos³a-3cosa RFbC5)t "  
iLA$Q2,  
  sin3a=3sina-4sin³a &Kvg@R.e$  
{3P8i|  
  =4sina(3/4-sin²a) 0 -]/K  
$A|*N$%c?  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] H51Q Q  
() RIX_  
  =4sina(sin²60°-sin²a) 4:M^=3  
~b)WU^Q/K  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) @9)N7XdE.  
!?k +7c  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] cM V+rIVR  
\ g;P4  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) a ^HO&i}  
+V 6g+U  
  cos3a=4cos³a-3cosa 2scnwgOV  
 >Z.X<u  
  =4cosa(cos²a-3/4) s1>_ gU :G  
_1]/ u*Q"  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] 64gUx1)  
euTz{Sv  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) +wZq&EL  
87en  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 1u}Ly6oR  
gLb!n 3  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} sPQ"oEgzE  
g]73j2WF  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 3l=*ZXi  
bCGZsC{_  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] <N:)1:44E  
7no E.M,  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] xI E%G>OY  
ZT^M: Q  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) eLXIfh&  
^ kHz$=.  
  上述两式相比可得 jOixM)"cW  
X@G4 v-Z  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) )6W:D6 Ixd  
o?@f  
半角公式 .*wU/zf  
2wm?TU"_  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); !mN{ ~bw  
`z-bf,] k  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. #C&Q-Oz  
> /, -+8  
和差化积 *[mC.<  
HNhA%  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] lv,$H}U  
1"R19:  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] V"j'5(_9  
y1dr"M<$.L  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ,~/n7/[Te>  
W&1@=s?2 R  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] APoJ  
KlK-;  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) kf Q:T#z}  
=p$ARoh~  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 5'W1[3P:  
x! ^[Bc  
积化和差 M$|^nKA3  
.TlaWCt  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] `_e:_g  
.?u&(2  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] yrGT6jK[  
p4.dqGeU  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 5i!Oi}!x  
ZOI[Aj  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 6QuE`np'  
UZ?CC`_ `  
诱导公式 lE]R~PE  
cUiG#(tcm  
  sin(-α) = -sinα <@0YR'.  
|! q3F[Q  
  cos(-α) = cosα xC<DIlp';  
sZ=<5E  
  sin(π/2-α) = cosα ivJfV,-  
jqPFj{vC~  
  cos(π/2-α) = sinα VfbjXb]&k  
!=c6>  
  sin(π/2+α) = cosα k) W -R  
1,KdM'y  
  cos(π/2+α) = -sinα 2L7o@3C  
z{M8$|@ _  
  sin(π-α) = sinα 7(BTAdz$(  
hZ#&jsO  
  cos(π-α) = -cosα @GC~O6-K  
w[v/J  
  sin(π+α) = -sinα 1(Z yw}}  
,7qS"rG(  
  cos(π+α) = -cosα MtO|4  
H.B~kdv  
  tanA= sinA/cosA 2.eL{o"T+  
- ?=!]  
  tan(π/2+α)=-cotα _C/8]UNMS)  
srDX{MF_q  
  tan(π/2-α)=cotα mcQ&#kP  
6J>#f7 E  
  tan(π-α)=-tanα ~Z`wQ=H'?  
ilNQ'>W~{W  
  tan(π+α)=tanα /E 5#Z 2  
m6 7 r  
万能公式 .CA" gy7  
x2"0~=If  
   3%rS@ 0m  
.<NDlc  
其它公式 %kIE;0=~  
J!'D:zmL  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 " 3a $v00  
xX8:~>aICL  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 kkGbh}<q  
h[e}"*Z^_w  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 <Q ET9:  
%E@Z71>ZR*  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 V|-p1ORYp  
|'zcb  
  对于任意非直角三角形,总有 %+Abr4D_  
wF }y&;1W  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 4lXD3V``*  
O3\yTqZ  
  证: 9BSK1VQ  
~9s|t0?N  
  A+B=π-C p?v KBB<  
RN08/t  
  tan(A+B)=tan(π-C) _2s '`:U  
Qr'WNiwp7Q  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 0#-EF2t  
3P*7~\~  
  整理可得 _ha%y.+  
6M0>j C"_  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 4qov]e3 ]  
~xWX,7j(R  
  得证 PX8~gSo  
GC+ Xi`z  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 2|3Dma90   
JhS7ZR:dc  
其他非重点三角函数 8Sj,XI  
a.K3h  
  csc(a) = 1/sin(a) ?_0[A0Le  
_1.oOiT:  
  sec(a) = 1/cos(a) &a;L[~4z  
xwKl|/)(Y  
   *v"<N8eSF  
)Ls5W( !|  
双曲函数 ?c[2*:HO5  
2QZ7)S!u^  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 f0Vz3PX  
/CeV\)  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ez\p#|@L  
/xJ7 _mB  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) dH{KhFY{'.  
bO-%B\p  
  公式一: s;G0k2-  
P=d+Q,w%6-  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: ;PI>OM vH  
=;~yxJf  
  sin(2kπ+α)= sinα )_><Z\BNC  
 8V m7.  
  cos(2kπ+α)= cosα yGsr y Um  
oI[]%vI  
  tan(kπ+α)= tanα 6ez*N`jN.  
-6zcJa  
  cot(kπ+α)= cotα }v45?"D]:  
Te!$Hnz  
  公式二: (j\ADa>  
eteFOO;  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: f ,gaNEEZ  
x'&iDa|  
  sin(π+α)= -sinα r4K9X/rq#  
i[ z jg  
  cos(π+α)= -cosα %/ ,hW,IIB  
Mt!}SSp  
  tan(π+α)= tanα ]( uEbX/  
8sh]Z*L+y  
  cot(π+α)= cotα ~VUj!X;[K  
g_ ^bJT  
  公式三: }ztVSho~  
C.?24e#A  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: Y1< * Oh%[  
,;EV0f0@  
  sin(-α)= -sinα 24?yM`Et  
yGo3:\lm  
  cos(-α)= cosα ;SsH~_o  
B(3)X:/9#  
  tan(-α)= -tanα O%;-"z  
 0v[k}aE<  
  cot(-α)= -cotα PJ]]D~_  
<OSVp7TR  
  公式四: xt3xXIKU  
Lk]ci i  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: EE$m9h|;  
(/7&l3  
  sin(π-α)= sinα N0J;6On,4%  
La?:6u=  
  cos(π-α)= -cosα CTo:p7  
e~1{-7%l  
  tan(π-α)= -tanα .~oAiBlo  
#]ua +%Q  
  cot(π-α)= -cotα +d@:hs#n  
&a\8|Yl2  
  公式五: ki%vVtR "V  
= sa>&5E  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: G9p ^  
M} kc6+  
  sin(2π-α)= -sinα l mtJQLr  
[r;`%LELZ  
  cos(2π-α)= cosα ]%v5/7kc  
jV'>mogd  
  tan(2π-α)= -tanα <?!1DPp}  
iul"//GP:  
  cot(2π-α)= -cotα LZn q3KaC  
*8nWa|B1W  
  公式六: `A.G+_^0  
Wyt{J2sm  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: W&+%Bn]b  
f4W+FzDn)  
  sin(π/2+α)= cosα W@B v?7$  
_;C)b,:lp  
  cos(π/2+α)= -sinα Ve]]zB n  
u[C +tc7  
  tan(π/2+α)= -cotα gjW{X}  
z?X ,2t)  
  cot(π/2+α)= -tanα a<tV  '  
Sf[Wo  
  sin(π/2-α)= cosα NJ$\)7Cp  
`q"zd %r}  
  cos(π/2-α)= sinα q>rI,{]PG  
"3gYU  
  tan(π/2-α)= cotα 2nX1{_j  
9xY{%pIlo  
  cot(π/2-α)= tanα /%s|5)kP  
9Iet/u/  
  sin(3π/2+α)= -cosα wd}Z  
EBp/ =hMD  
  cos(3π/2+α)= sinα g=g2DJ~=|  
401^  
  tan(3π/2+α)= -cotα ?BBQgF  
4AoW Ke5  
  cot(3π/2+α)= -tanα /(I$3DGU-  
U\8c3gQ:  
  sin(3π/2-α)= -cosα ,uUuT)7m  
a"}a:RF.  
  cos(3π/2-α)= -sinα Xrn`:e  
$D52mPDaJ`  
  tan(3π/2-α)= cotα <%4 1e}P  
B%X tI?  
  cot(3π/2-α)= tanα aF#Yq.@I  
E>A/eB'9s  
  (以上k∈Z) e?5KnS"*  
S M**~:C  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 T?:sz"#  
x)L $G3  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ?(ZIEAT  
/4`>KMN8  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } hZb]iTB6  
6D>_tf*   
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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