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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 2."jKq!  
S :K E@  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. h eQVt_F  
dF-pa}ik  
　　1、三角函数本质： -] 0K9[G  
?Uhv/DFc<  
　　三角函数的本质来源于定义 :5[fN:  
+f |5w#  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 4dcq4K.@}  
?6WLt|Q  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 L8} B<Nm  
^Pnf/eujU  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： dGf\2'0|  
<8I1]zLSk  
　　推导： dp"i4^6E,'  
; r?Dc X  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 }]{D5d;X[  
AvHXrNP  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Ift<Nqub  
{& ULW6g-  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) P!z9Aj'?&  
|j-skp  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ^%P.UZ  
waO8P07  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） m%s>_&J+D  
/r3-=v]  
　　[1] -\i';$.L  
-I;/pl6d  
　　两角和公式 u(BM`pq-  
%=@'$ S<  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB -^%y.;)L"x  
6a5k]D  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  O gfD+I  
?Zi[exnw  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Fi/u"R[~  
.thondf  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB us9M"aC&  
r,oD5)  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ,cCT #r J  
eJ}"Vu<kU  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) _u3giCg[  
-LFU-^u  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  4C,;,%NGq  
i% t?Yv  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) eZ-,:g7( Q  
Ny~Fg  
倍角公式 `3 o.j&A  
Gf -n_N*  
　　Sin2A=2SinA•CosA O>i^c[2  
qbv"vADl{&  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 b$F3GET =V  
a!f'$M&5P4  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） N7xhb09  
J`7QYETf  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ,adOGuV#r  
,{>>"W  
三倍角公式 xi#<JX_%;c  
pfQ<)C$(  
　　 30Y{C>   
TQ 0-MKI  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) _ni4~B"La  
}l9f1$  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) K%J{}b8AM  
8w4\\v7^  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) WP<:  
-l*YY~g  
三倍角公式推导 GjJ el9(z  
ZDQRz\ z+  
　　sin3a IJu3uxct  
-0,F$l~jn  
　　=sin(2a+a) 7>O!)lf0  
]8*-$H@  
　　=sin2acosa+cos2asina d(|TN#.9  
|UjK+<J  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 'A(~N+2$W  
Ze'_2)G  
　　=3sina-4sin³a 2J MF;>N  
?d$?XeK$d  
　　cos3a %15x|`}2  
Rqc`#27  
　　=cos(2a+a) ~>$r|>  
\O9cx%`D(  
　　=cos2acosa-sin2asina ;yOvU 2-"X  
Dm{ :vZr  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 0aw0nPQ/  
`5 $"kgI  
　　=4cos³a-3cosa _6*2;bl  
G@mQG|$5t  
　　sin3a=3sina-4sin³a M\%'ebDx  
xDG^Hu~h  
　　=4sina(3/4-sin²a) MYX$4=0%  
D0*AEsu^  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] A""]5;1 Ai  
X8Nc(;g  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) &s_Kz) :[  
2g}d =M  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) y^\!'Ka5  
F^S2 hw-T  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] kl`CQbh)  
{bdCDSr!!  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) +u|c  
Zh^q5Fh:g  
　　cos3a=4cos³a-3cosa F&hN2k(?  
2[e%6-A  
　　=4cosa(cos²a-3/4) awH5bUZ7+  
\7&0+{R  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] K:X`@  
=-?qP@m  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) u78?"=^}8I  
@>liL(  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Zr tIRxU  
G^,<|^7  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} <LH+C3kU  
xGfT^&zmT  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) VcR\h +  
.FyWM#}|  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] EdcRE>mQe  
F$P6U7f5  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]  $g:tQ$  
`!pcE  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 5Z/Dx Hb  
x.# Cg }  
　　上述两式相比可得 .L q#uw  
W-de-Yi  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) HQH]0QR  
3WoL| k  
半角公式 c H1%rf  
XRH  / |  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); j&% ?G  
d.7JhJ]JA-  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 2?{+z3o  
{TZ5=b8q  
和差化积 cDni0Ew  
go& v;I@  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] G eZa(nAv  
dj(\BOOd  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] V`%9vQ  
c9XEZKGl  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] o1*U F  
mU$/uDT  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 6^V4z/  
za2I{M9@  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) u?<+2{Lh~Y  
DuQ.x}_)P  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Bf`V}%ZN%;  
C (+=ok\/  
积化和差 L}FDt"b@  
O*` Vu)Tx  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] !llk+@:  
> U=QL+  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 3!cc#`QG  
\x&<1{l[  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] %'1<Q:br  
XAxH ._le<  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] H1|h ~9nz  
;a4A(3rv  
诱导公式 ;%KV(?  
Z:`c @Q  
　　sin(-α) = -sinα JiX=m%5,+  
VuNhj w "  
　　cos(-α) = cosα !/i6k  
_@;5c)i"v[  
　　sin(π/2-α) = cosα V~'K U_^}  
lvRtzLm/%  
　　cos(π/2-α) = sinα |)z#0,k  
9}MLsq5U  
　　sin(π/2+α) = cosα ;p  6v  
JWy@CF_a$  
　　cos(π/2+α) = -sinα [kI&>/K[  
&ETzz/  
　　sin(π-α) = sinα J_9V;ospi  
695~@.  
　　cos(π-α) = -cosα Eh^Qd31;~  
py? PR:  
　　sin(π+α) = -sinα cF6sk%f  
qeKFMamR_  
　　cos(π+α) = -cosα G^%|xIzQ  
~l= MW.$O  
　　tanA= sinA/cosA z:ta<Ynv  
_+@=p"S  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα dC<KFF  
X]qoogUP  
　　tan（π/2－α）＝cotα e<^jM+  
!%%@v5Yq_  
　　tan（π－α）＝－tanα /Ql N!V  
{/4|BzN  
　　tan（π＋α）＝tanα fLO8T@]]d  
<> "~5  
万能公式 {q ?&&  
g R<<L  
　　 So(:}_G  
"/WW7$;#  
其它公式 3iWr[%e?  
EVNb=Z:k  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 \JTz^MFRHr  
[V;T|-Ne  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 C71_ Zk  
; PDvzkP/  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 v4 ? yf#  
sMybm  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 9b_+pDhI  
r&bBh|TN_  
　　对于任意非直角三角形,总有 u2_0V|m;  
;BVS7V$l  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC b/1r  
[L+-0=[{ &  
　　证: XE(>:B2Jq  
B+X4ypl  
　　A+B=π-C Az,i8K8U  
6j 2Ni9  
　　tan(A+B)=tan(π-C) &L?a$#Vy  
P?3a7J<k  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 4?e4}C  
wBOF.  
　　整理可得 #S/V1L  
U%cw2fRQ  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ne/;kh;  
GG}\3q-  
　　得证 MtStRA$  
zSUpsGt& <  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Br_ PVVB  
2OwARk("  
其他非重点三角函数 :XM0JGk$v  
r6k&-F-F.A  
　　csc(a) = 1/sin(a) 7) ,-.T|<  
; ,@+*%][  
　　sec(a) = 1/cos(a) (DP29.T  
.Ut"/Oy$l  
　　 wHQp@  _u  
~$#bAV9d  
双曲函数 bHR 7<- $  
lBfdLNff;  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 -eJL_ ? e  
XSl}{dzHy  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 7ht!  
TZo,>Fu {  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ?}n;  
^uSAibS];  
　　公式一： $736FZZP  
~\b pe:h  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： EYmis  
Io rhuv  
　　sin（2kπ＋α）= sinα OZORM1}O  
k-"f~#,   
　　cos（2kπ＋α）= cosα A=N<xKdhW  
*Nr $0~W  
　　tan（kπ＋α）= tanα m$R [}tHXt  
JY]Q>:H/K*  
　　cot（kπ＋α）= cotα +`\Y&;  
CE):Fv  
　　公式二： 0Kk}]&t  
v?eDsZi]e{  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： rY{3>+;  
*qShX#uj  
　　sin（π＋α）= -sinα \8@ta*  
9p_3Np*  
　　cos（π＋α）= -cosα `x-=SkT\  
.WSPgk on  
　　tan（π＋α）= tanα @y[9P=xF~  
JRg* @Mu  
　　cot（π＋α）= cotα \DzU-vL(Q:  
< _Y:1aU  
　　公式三： Ia+0%@j'  
l2Q<-] 89  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 1/: hXE)  
Aw{S92  
　　sin（-α）= -sinα o uB:GN\}'  
k:Um\i69  
　　cos（-α）= cosα cfU {i%  
}0*m;]ov  
　　tan（-α）= -tanα Sw@D x{U[  
B):`8"c  
　　cot（-α）= -cotα D- /ayX)  
gNK-< :  
　　公式四： c7ST0kaM?  
4>_$   
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ij8>20r  
KAZ~7Y@`  
　　sin（π-α）= sinα rp9]2J  
QvkZIrj w:  
　　cos（π-α）= -cosα qI!XN4y.C  
N.E8xHm  
　　tan（π-α）= -tanα zy)O+x$b  
C&} zpQ[3  
　　cot（π-α）= -cotα btBZ~ATr  
@"Q)fS6Z  
　　公式五： x x.a_  
CF*aD  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： T%d44<  
, q\x!l Z8  
　　sin（2π-α）= -sinα '3&V2l  
c:sfg/d_E  
　　cos（2π-α）= cosα +:@) T9.+E  
yQ.>` ?Z9  
　　tan（2π-α）= -tanα )503(nkK  
C{q^+ ,  
　　cot（2π-α）= -cotα W^0a=X+g  
m&]4R!gX~  
　　公式六： HD}j_;HbR  
Q*;2o<m  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： RP>IV|e.&<  
Du~$R+O  
　　sin（π/2+α）= cosα OHqC5UN  
ppiKMwK  
　　cos（π/2+α）= -sinα ];\ir0\n  
"sCR99vRD  
　　tan（π/2+α）= -cotα uXY95R&j7  
O9{>H.  
　　cot（π/2+α）= -tanα YIZ2L;SQ  
]DlP O5mZ4  
　　sin（π/2-α）= cosα Iz \[5 3  
DBKVN$'A  
　　cos（π/2-α）= sinα /If#R<L  
%Wdk:/E~`  
　　tan（π/2-α）= cotα WglW36 t  
htc v|+o  
　　cot（π/2-α）= tanα `_yG9c> +&  
0 0?<,  
　　sin（3π/2+α）= -cosα &4{p,.<  
L*m0^dH)   
　　cos（3π/2+α）= sinα GK7!(\KW4r  
%zypgv K  
　　tan（3π/2+α）= -cotα T>/Q42(*j  
4TjpAKgB.  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 7grkD~]  
Q+M1b  
　　sin（3π/2-α）= -cosα t;Ny# p5  
qs#)Qo[  
　　cos（3π/2-α）= -sinα b!A1?W}Q  
.KKct`%  
　　tan（3π/2-α）= cotα &*dv:'=:qs  
iQ\7Q]  
　　cot（3π/2-α）= tanα e<T OT{1a  
6 UrX~aZ&  
　　(以上k∈Z) U&Hu&_I.E  
G*VJg  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 yB/a%+  
u @<@ { W  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ^> 0Ujc{  
X.NF_3.  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } X3INk[y  
|p+c9I  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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