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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ;!y?j`.e^  
B$*I`G4<k  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. (6t?\L=  
k(y:@  
　　1、三角函数本质： >$^~e#  
E:'OH'  
　　三角函数的本质来源于定义 =Quc/4SI  
}Kp?agWq  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 \!ekz`wL?  
%}N? .e  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 b|5h#.e  
nNU>ZKAe  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： B4O'\~gW  
NONu&{6K}  
　　推导： ; z//tElT  
:{o uY1w.  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 G#fiiU/.G  
&c6!|<~HA}  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) P*'uCh^~  
TqOlCu  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ^Wy85rLY  
f|v,>" KD  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 q0J#7*&o  
2#J,p` (lE  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） qC_G"4m{6~  
9?ZKf}}  
　　[1] 5 Z%\mOvH  
J5<cs\9Zd  
　　两角和公式 BFx [gW\3  
i)+NW73-  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB $**2W*B *  
q3=oaFS{a  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  5( j3m@yk  
).)`kZNm  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB If]a!Ct~z  
`UWR(l  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB +Y#Qs7)S07  
.(U"KZ8Y  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 1[ gK qf  
-kk5R?L  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) v&S="mk|\  
+EO5,P  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ?rc2\-,H  
3l\EBQy$&  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) :>;4|]MjJ  
k8> ?|FT  
倍角公式 l>o'!9o  
MychSOx O  
　　Sin2A=2SinA•CosA "kn1HZ5h  
?E:H*4@r"  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 +u9uFp  
Mt'@!^p7  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） )o2Qm,/  
la0V6=0nfl  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） N_ukZqC >  
gubh/KJn/  
三倍角公式 +b% 4`9  
*BN|iv%/Ct  
　　 1[65RG  
Hh:F?rDb>>  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) X1Q)\v+%  
U3"[XOgl  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) M%;MPArK5  
4H"='xH"P  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) um[w2#O  
D+D 1p_5 }  
三倍角公式推导 _JiJ6*8ht  
SSN7+)ydS  
　　sin3a *] hL NXTg  
;*XbJ>k;d  
　　=sin(2a+a) RmI:{@"E  
bv*E?{]  
　　=sin2acosa+cos2asina . C,]04  
NZtN6W  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =,0BxUM~m  
)>ys}i_  
　　=3sina-4sin³a =Z;0wY;G  
~n 28K5/&b  
　　cos3a eVe-{baLs  
Ca_L<;:GA  
　　=cos(2a+a) vs-@Fe|x  
kec&x4N"P  
　　=cos2acosa-sin2asina hZCXbX>E  
-&Lfz5EO$C  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa vkI ]O W  
k UY~  
　　=4cos³a-3cosa m~-((C%Yno  
ow$?O<!c!  
　　sin3a=3sina-4sin³a A>='  
J35kk8  
　　=4sina(3/4-sin²a) #x3jcn&  
t7sqFu  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] -HzEmW  
Q^ ~xP\^  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ]W!=0qQj&}  
3]dF u:q  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) H9.U_V`i  
e]]x Vdo  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] I0}y{A)y  
qu,A88H  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) L!Cs/N(  
^K8LN/  
　　cos3a=4cos³a-3cosa (Ov <I+~  
jWf2R4k  
　　=4cosa(cos²a-3/4) wMi;H29+  
yP>* Cz  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] $T'>&$(KT  
d7sjHPn'  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) @a[|`oY8?/  
;>6r5H4 l  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) p%<K.PB\K@  
1q & 3QJ  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} (lzO06|6x  
+.VGCR'  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) UqGG6utCu  
""elpLY4  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] P4/pe31  
E"$z$==09  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] O`z;@*Z8  
r 7k W~ "  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) iQAH|][N  
S#Si haf  
　　上述两式相比可得 V1>gfefV&  
ki:J[Gei  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) YqLk:&<  
~yGkqQJv  
半角公式 `D*  
xE;f8IO  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ~yr| )-4&q  
`5F; NaWr  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 3L}T q82  
/3`q;rm@.  
和差化积 LKDvVmG   
1F2-#je$T  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] bk#0Et7>  
kr:$0j%M  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] K/S+!>  
aqNa-E]7h  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] p6!yAVA  
_E:o{8aJ;&  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] esJFp4V  
DL3f"H3  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) .N1\ L  
y(I7sNQ Y  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 0B;wz+%Q  
B0O6TZ2e  
积化和差 " bx Hbg  
h 3Ndh,c:  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] T_k p;b  
Mcw oe/  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] N<86:vL~  
cQz]ODU  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]  #;cj  
<In)uJ T  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] %7&Mv!7  
(PQOMl#'a  
诱导公式 -n lGzGSra  
zq>lQ+I+y  
　　sin(-α) = -sinα f.%KPyugb]  
/H{d#>8T0  
　　cos(-α) = cosα /snF3)|  
e>~~mAL  
　　sin(π/2-α) = cosα EPR{!NP  
}t,0Hx[u  
　　cos(π/2-α) = sinα `8% \KgaU  
Rj}'fkHV  
　　sin(π/2+α) = cosα p+VO'W  
-}s>7ZKZHv  
　　cos(π/2+α) = -sinα d*7HjiiS  
#4X>SBX]Q  
　　sin(π-α) = sinα $!Du O%3  
cW jc {oo  
　　cos(π-α) = -cosα T[0)sMeo  
r/z7` }  
　　sin(π+α) = -sinα e{T r&m+`  
jMEh7g  
　　cos(π+α) = -cosα bPjg?7z  
@XKYE8[(4  
　　tanA= sinA/cosA +wEGhYl[  
e@?sjVS5g  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα rGM}VGJS  
N 8"5c  
　　tan（π/2－α）＝cotα \PAdevqr/  
b[VQA"{a  
　　tan（π－α）＝－tanα ZxF "Y_  
J7xF:y  
　　tan（π＋α）＝tanα %6r6&;`N  
B1u Wy /  
万能公式 #%?x-w%K  
|%[1tSw8q  
　　 bW$"!%B  
CJ.,1+];  
其它公式 ~I"gA2j  
7g#<{ax-  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 [Q&@Pbm  
GZ2+)0|g  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 *+>^h1%q  
mf2724  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 HSlg@/i  
N._F?7&  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 aOh|;E: '  
a/@/c:  
　　对于任意非直角三角形,总有  ;'m %)T  
)xF0hQ5p  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC tfWLOqD  
Idwaexd1?u  
　　证: /6_%X<W%N  
~X[Pc7T  
　　A+B=π-C ToVT| "  
<C2Q2n|s  
　　tan(A+B)=tan(π-C) -8zv! J~  
e_-QdXH@  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) #]@D5K? =  
rb4NG{UE  
　　整理可得 0gC"UO  
d4CF?5l,kZ  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC =LMooNYT  
ZSe,PI p3  
　　得证 aUQ.Jn>F  
{h-az!  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 9#EpL]4  
>[HT^u3Sj  
其他非重点三角函数 rEq'`@%+  
z;|G9{m[  
　　csc(a) = 1/sin(a) Uq"[*neF  
d?I 6b.8C  
　　sec(a) = 1/cos(a) )rLuf"$,sJ  
wbuZB?q  
　　 tM# tKwI  
tOZ.! G{7J  
双曲函数 )"#fj6ui  
!M TmJg  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 jC7evv  
DTL/z}#*e  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 5in#3R@  
4\ vM~  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Z BQE.  
ty:0&7  
　　公式一： za?~(tB  
9ce@Ao5u  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： {/\y-xHt#  
  Mk?  
　　sin（2kπ＋α）= sinα |+v``+}-!E  
`fc}NsNd:Z  
　　cos（2kπ＋α）= cosα .^!JNq\v[w  
/;$ :,2^n  
　　tan（kπ＋α）= tanα :g)bDI5  
w jaB *Z  
　　cot（kπ＋α）= cotα 9Wm!u/;kn  
4uaQ&1d o  
　　公式二： y9+|]o.&;)  
U24_O r  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 769z3@[P  
u]Ig&<L:  
　　sin（π＋α）= -sinα gLf;E|   
2='% ~[)B  
　　cos（π＋α）= -cosα "1ufM<<  
uWt8%vU  
　　tan（π＋α）= tanα H_ IG_Krr  
zS >$4"EG+  
　　cot（π＋α）= cotα V]0x?*$  
XRwX]swM)C  
　　公式三： Udl*^),  
fqs[ &S  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： BOG}|F"Ds%  
^S*@0x(  
　　sin（-α）= -sinα fW$HUGY[Y  
M$aC@Qv  
　　cos（-α）= cosα x m pv3  
Por|U{0H?=  
　　tan（-α）= -tanα MM;7>F  
2J/K<U2*Y  
　　cot（-α）= -cotα }yEL<w5W>  
Yelgk5ht<  
　　公式四： zsP&tMr}  
U7R~]j'  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： NlZ,i9$  
s\ | %_B[  
　　sin（π-α）= sinα u OHAGRt  
.cjHJRy|0  
　　cos（π-α）= -cosα sHKuq  
GwD[AQO/  
　　tan（π-α）= -tanα }bB PGI|%&  
"#~0`%K  
　　cot（π-α）= -cotα 3=d#[Vz2  
U/VfR w~:J  
　　公式五： %j0O9@"g"  
0_:=t   
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： !C0:t;*  
VnIX=`  
　　sin（2π-α）= -sinα  w#nd?m  
nfYY7M0@  
　　cos（2π-α）= cosα Xn'#FF M  
{`)"g>-Id  
　　tan（2π-α）= -tanα eBz7Rl|M  
Wf?1T $MP  
　　cot（2π-α）= -cotα AZQ.4:zw`  
|6|iKD\  
　　公式六： J>&76  
X y/f@i3  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： f%V:V)Q*J  
q ,Z>Ov  
　　sin（π/2+α）= cosα y3G@PlsT  
sRX\$%1~Y  
　　cos（π/2+α）= -sinα p*H\zcO`  
"n<h' `\9  
　　tan（π/2+α）= -cotα _pK#u6L  
QtGF.,r1R  
　　cot（π/2+α）= -tanα ,x@JPR  
5<m"!M  
　　sin（π/2-α）= cosα j{CbAoB  
W'!ctM  
　　cos（π/2-α）= sinα Xp_I6AT.  
%YGK]fGu  
　　tan（π/2-α）= cotα Kp>RjkNi{  
_NsYZR3\8  
　　cot（π/2-α）= tanα [?Ji?! }  
R<D8~Ap&  
　　sin（3π/2+α）= -cosα J[Nv0XZO(R  
Q+oBmd  
　　cos（3π/2+α）= sinα x4`v]#  
@cqI#HC  
　　tan（3π/2+α）= -cotα B&rW[!'?  
OkA7 72.  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 7eJ3Z  
?)zB!N_  
　　sin（3π/2-α）= -cosα =}GYK9vY  
4{ DDu  
　　cos（3π/2-α）= -sinα )G940M!O  
]e }~vWg#  
　　tan（3π/2-α）= cotα 8GJ=_\o  
TLV2S=QQ  
　　cot（3π/2-α）= tanα _`&d?E#  
i-= h{  
　　(以上k∈Z) tjq%lh  
YHv\ /BPXe  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ocnn_A[Fj_  
%sN|  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = H:?7.#7]9  
Hk17SSU/  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 9N? X2as  
h=5!T E  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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