三角函数内容规律 H0AZxHo_M
$D?v_S]Y
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ,C*BL=
NK '#gz/I
1、三角函数本质: M,}?+y]q)
5sRmf-q:
三角函数的本质来源于定义 6nk@u`/w
]i*pnw
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 `&f}bP;%
9Cj@v}`p
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 Y{/_-4^[
|f>&K"
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: q=,jus
i~wEM*6K?6
推导: , F)7LX
a=*l"[Sc
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 7~(#~r/8"$
Wp;X.[k
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) a@ys1++O
.m''h.e
P
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) }mN5*hv
Jr)+0,0$l
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ":=!&,J
43*~`_
w
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 1K'iZ<Kp"
*21X2[n6
[1] 2u}5r'<
oZD9
`;
两角和公式 } ^D NaU'
d ?O{ c
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 5vjCNBEq&
q&)ps@|
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB +2G
}]nz
n:-HebyO
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Bb8` fR
[/`1:f
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB r#h>S'if
Fnlukny
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) gFqzc`%RS
\t'+,
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) VQ9.
COv\PW
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) $zB`d|E
9nPJ-NC}
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) pR MM,_7B
[e# >z@h
倍角公式 Nb\7NU
*i
c_y,{E*k
Sin2A=2SinA•CosA 1Kdxxf)^
c)qe` n,%A
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 xt 6KmkL1
Tu1:i|Wy/
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) 1OA[7<n
u6SoXRIE
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) zqASmt'
T8*Q7{
三倍角公式 ~Wn?-
_jxDigO#
Z
oF^w4yMp
oE{=_ Xbb
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 6Pu@ 2
tJBqXfK
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 'hg 2
<
QY$Et|HS
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) EoFS7Jd"_)
eEFAl@_
三倍角公式推导 ?*0|-60
O"Gn|5(b
sin3a ,*&-``%
yX<4
]m!x
=sin(2a+a) R}R+F'Uw>
Iwy^%H
=sin2acosa+cos2asina jSI<xbpa
^F;?('\Y
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina n1M1ck{
H,tFO5]V
=3sina-4sin³a .m0V 9L
$ $cXYH
cos3a if}2O_]
6 DY@.xZ
=cos(2a+a) bI( oZiQ
1l:CQgpA
=cos2acosa-sin2asina p HTo|1K
"IU;tm
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa B;e)oU!l$k
NWNoltq-
=4cos³a-3cosa j2HW{GR|
$lP:ZJlcP
sin3a=3sina-4sin³a !gDrd(
~6r\(Z
=4sina(3/4-sin²a) 0J$iF:
&u+>(-ugB
=4sina[(√3/2)²-sin²a] :V""
:%r<
p n%
=4sina(sin²60°-sin²a) &L|
cPOc
[Dc<X`
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) S5Or ;&a<c
z
}H6$
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] u3p=0V"
7;=;U
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) &Lso)
d:F!!z
cos3a=4cos³a-3cosa CA=
7%q
f;lnwS x:
=4cosa(cos²a-3/4) (brxwu-
5V}\%x
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] g
h0jrZH
g|["i g|6
=4cosa(cos²a-cos²30°) U;~axuhZ
$ZSO
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) oRxKzr]0
KsZN%4%
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ^IJp*bX
%5H?/;
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) #wso%Yl
f( xJK
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 4zp}r
54H(7"
Dh
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] d5y.8>T
ab{f$7Tu
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) [)r(-
@d6+?7p2
上述两式相比可得 %#|Afp]D
(C&
3o+?
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Ko[6 9?
73OMUN
半角公式 RudGGn
R0;tn)z1(
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); e-}Q:#?v
azs'^]
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. yCLyt~)KA
dBJAr6a
和差化积 e4fK|z<
9Lt:x]O
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] O/Kjw)b'R
vn0I oLWB
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ]$rXVH
1U~@x]{o
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] gluHqt:(Z
eZU<"
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] WZ.RcbR-s&
T`{(I}/ M
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) {<y^e
8;AFFO
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) d+i?% R<
JmGXK%|))
积化和差 /}U}~3E:xz
9!Fr`@<y}
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 4eIvw;x
{i\(1J
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] k|l%xi
w?MG5gp{!
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] WI3w,kk
W"T+O"DHW
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Zt3{|iI
q&~"< 1
诱导公式 'DpMn'<d:
1z9t{[
sin(-α) = -sinα / o#6boE/
xKdTs)r=
cos(-α) = cosα <nr>%>g
:W]nKs=9A
sin(π/2-α) = cosα $0Ub4I5J
fOL*0?9
cos(π/2-α) = sinα LhL_4$h>[
W2'#>4m:=
sin(π/2+α) = cosα Gbi#p"p
l-2FM
f
cos(π/2+α) = -sinα %]7J'"d0>
kPja<gL
sin(π-α) = sinα \z_x>0<;o
r
l='>c
cos(π-α) = -cosα uIY3S )F
r7Mg'b
sin(π+α) = -sinα S=^VVUE)
trMd$-x
cos(π+α) = -cosα \YGbvQzK
]'j)"^[Wx
tanA= sinA/cosA ?\8
;s
y(J+z{9
tan(π/2+α)=-cotα #nWJ@'3
TmFZ.R
tan(π/2-α)=cotα X_lhr(E
#>
e]b~XG
tan(π-α)=-tanα {s 9?JpR>
M%[W=(6
tan(π+α)=tanα NeRaK-
[tBQh2U
万能公式 St|[wKF
5]<>P6
7"!G0>j%
8xk[m
其它公式 xi|?u{
MSen**(1
(sinα)^2+(cosα)^2=1 +
~B{m.H5
`}E?`}
1+(tanα)^2=(secα)^2 +yw=mcWl
j":Ne`j<
1+(cotα)^2=(cscα)^2 QpC 8,P
6-Rxe6F7>e
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 `7.YgEp4
F*W :0
对于任意非直角三角形,总有 hns/
F/Y
jM
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC eBvB1Y
hAXqVJ
证: 3WVR\8-3W
Bs#R770nV
A+B=π-C |8_ L{
xbAB&"rZH
tan(A+B)=tan(π-C) !7'"KdV
rD&Ptl"|
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Nr@z3Z9Z
hIh Al`lu
整理可得 BerqZ0)R(Q
F,\?mX(v
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC K+9;di@+
1PFcjSq
得证 \zW ,fP
X3]Lj
+
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 7yR''Q
)yD9!>!'
其他非重点三角函数 wQ>I<
`"I7ep7
csc(a) = 1/sin(a) 9%%RycK#
QQ(#
>
sec(a) = 1/cos(a) @
aC+_7
#|jRZ_
,U6
;,+g
~C@G\U.+
双曲函数 =Js,Jwe6m
!o W34.I
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 )^y
(z\
*yUrF4)-
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 f8l{ll
Ap(C`&/[A
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) &w>My
R\)z 3u
公式一: l|<21/
~
Zc{
cUr
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: t/(@n&r[S
a$+&5_y
sin(2kπ+α)= sinα Pq6G;zuxu
LeJ1
@PY
cos(2kπ+α)= cosα /3%.<<O\
O~k
x"h
tan(kπ+α)= tanα Q&XVHWQo
[DwE/F.7
cot(kπ+α)= cotα [,`k{+0S
301es
4M
公式二: ;t @g s
7<b}e-K]Z
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: #]4:9UBPs
p"vlNt=]
sin(π+α)= -sinα znp-j^
V{rAuR[x
cos(π+α)= -cosα u>RBm1%a
vUg /g-6
tan(π+α)= tanα xC;QNnNm
ex+y-\L
cot(π+α)= cotα y[
Yu'~
?Z@/*hz{q
公式三: D2yBDn06:
Dwv*6wvi
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: #|z
A^n
-=V4)@#
sin(-α)= -sinα \| 66O W
nx.n13bA?K
cos(-α)= cosα %k:
TIM~n
##BQ*,d6($
tan(-α)= -tanα jXZt+(-^p
>z?s$Nh}
cot(-α)= -cotα
^<*r sX
/&;I.qWv
公式四: YWjCvk4r4
G
&=zrn
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: 8C^VMXe
Fp_D?PE
sin(π-α)= sinα rfJ[ )jPW
- b:8^=T
cos(π-α)= -cosα -)plL;j
"u;7/D
tan(π-α)= -tanα D[g|om
af/:hXT
cot(π-α)= -cotα ^Kwg4KC U#
>~a'lR+eiT
公式五: kN#Mxo
faVmkD?Y
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: Z!OkG
Qc.1MW
sin(2π-α)= -sinα YA?:}vvf
b4YC:{yV
cos(2π-α)= cosα DQQzqtu
8A)74R
tan(2π-α)= -tanα Czh|S,gcv
xEFi]
is
cot(2π-α)= -cotα $oTL\_X
%Q^.6|zP0
公式六: #h<n(
3wuRsE/gc
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: v@&~|$Rh
0 J-eq
sin(π/2+α)= cosα 'S H9=d7
bfAYmxmV~
cos(π/2+α)= -sinα }w_<.-7.
8l",2jI4z
tan(π/2+α)= -cotα ;e1M1R"d"
gb3\5 MOM
cot(π/2+α)= -tanα ff(bOZ_
] ts]K,
sin(π/2-α)= cosα bLuNjX?ts
[A6K
cos(π/2-α)= sinα mK3w\$@
't>&iK VbW
tan(π/2-α)= cotα d
Ge1NK
c!YKpRB
cot(π/2-α)= tanα <qBaP
&#>BX
sin(3π/2+α)= -cosα Zzw<8
j
P6nMOeI
cos(3π/2+α)= sinα !P&~N %|
Z(&s?k
tan(3π/2+α)= -cotα 4R?Da40
BS}P)+v!(
cot(3π/2+α)= -tanα "t5W/ROn
)@NB?^\u#'
sin(3π/2-α)= -cosα w(3: SJ6f
g&C tFS0C
cos(3π/2-α)= -sinα Z':)
u
0iX 3;d
tan(3π/2-α)= cotα ZzpG0?%*
zZe?ka
cot(3π/2-α)= tanα P:kZ^},i
$$eHt
(以上k∈Z) ^ZK
<Sbb-d
gl_$$y*
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 O~{{I#NdZ
iXLRD[
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = J3jbCW#
Cdis: {E
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } b5Q#i#
/O':Z4q
√表示根号,包括{……}中的内容
迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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