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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 I[ -"+3;e  
}P|q6y6  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. vPIM =J]=  
+~Y * fd  
　　1、三角函数本质： "(A*1V  
> wX' 5  
　　三角函数的本质来源于定义 HHTcxu82  
R]u<%U@  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 9F]  t  
L=~&pt)  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 #tmrQnq  
G5ywA$?d  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： X+|Jn G.)  
|lglrLKy%  
　　推导： Gs,7 A  
I`M*F<  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 O^] 5=FN  
>++0yzMh  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 8_27A9.s  
c*,/  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ];qr0E;^u  
3!E{-B k  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 /+O1s  
C(mO1F  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） #|a9s##N  
_{qgnaZT  
　　[1] Du%O BI%VG  
]:gDln_^1  
　　两角和公式 ZFZ,!+N  
gFUmp  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB (]t(wv  
|Y8VB`d  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  R$o7?IlI  
+~q=OG ~  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB qHFR]D\ -  
-g [FY#U  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB T< 9\nCU!  
n:V /`85XL  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) <)SG4c&  
n!6Q"wL*  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) #PQ":,TW  
) 8]*<c   
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  VH,sB|ED|U  
W (K\ Bu  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) uI&)xB  
*9EXvJ^  
倍角公式 rez}& k  
Pi91DAd+*P  
　　Sin2A=2SinA•CosA MJ+|  
Ec 12g{  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 &^*/&q+k4  
|EYxu}`hp  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 9|SSi$n>  
TTFxY*  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） -k{[[k  
!o[*-*K  
三倍角公式 -'=}Xs}b%  
]kbs+<t@j@  
　　 ^zbP>H,  
#pog;[c  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ^"Aysv9  
|VLf "ZV  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) d%YbECU  
;w&Ef+8F  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ON5qoG>b,  
maHhC4 0  
三倍角公式推导 cm%,;]  
*6HlR(Y  
　　sin3a W;#Kmk y'I  
qIgMVOCr)'  
　　=sin(2a+a) Pi C6W+{}  
3NA&ni  
　　=sin2acosa+cos2asina Fhn15*nSm  
-lL LA+l  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina t[aYx.Kh.3  
Q^Kxk?^k  
　　=3sina-4sin³a :^d a  
w\WItV'  
　　cos3a be)H6 '`O  
t.f/ev/P1  
　　=cos(2a+a) 8'QzF6+i]  
Q]D%4mSb  
　　=cos2acosa-sin2asina ]WLIuh6l  
uD8OXr<W  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ,X(;^xzS  
9x*></skl  
　　=4cos³a-3cosa lh!7(W`  
$VJ Ye  
　　sin3a=3sina-4sin³a w,a}s[Q{''  
k>ASN_+V  
　　=4sina(3/4-sin²a) (-* q`s6  
7nH3>,`  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Az^4qn^  
=se=-#@y  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ic3]}B#vs  
5?),I"}+7  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) K`iE_do=  
Yi]|zeG   
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] b?9 @q  
%] L1lkMa6  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Dn1&$b1  
,o65Dw;&  
　　cos3a=4cos³a-3cosa P'=k=N9}p  
0JfEAAQ)U  
　　=4cosa(cos²a-3/4) f 4M|R`~,  
%%vS851,c  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] P I t~!M  
1~- [n  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 7:~}\ Tz  
[# g%!%;  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) sB~b>w*\_J  
D]?U-,~  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} WOP$(jE&  
# g!V&u  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) uuFGUz\ ^  
g3*B)W UF  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] P6ovQ U C  
X >+s  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Ta2x>08L  
t zA**{  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 4K.L ]I  
o=GK9g  
　　上述两式相比可得 "|.IE)hY  
@(=# VB  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ix&( ,$d  
>lvk`=/+D  
半角公式 G u<^"  
]M !JH{  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); +9mnp (HoV  
[4&{N!0  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. t<P1g)  
f`o6/+|K9  
和差化积 ['4)_\  
O3BEiFZ-e  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] MnL@ 3hs  
F<qiG3n&x  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 42v&'#*  
0S8/Cji  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] F\4;+}#F:  
=u*2[2^j[  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] B hi@!6E  
A(=Bxmb&  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) J^e<5wFU  
]B1{TxC  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) cJhq$\16  
I- my:w  
积化和差 o *ZDwzp  
&4zL >  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] W63_gB  
C^\\:!  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] wUfKj9M  
1A9 LX<  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 0*d9~e?*l  
}; L9`u  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] tn mM  
K\>cq-1W  
诱导公式 Y%5waNk  
bI"h4XtN  
　　sin(-α) = -sinα m{k(2^  
*>0="Az  
　　cos(-α) = cosα 9E }t6?{@  
q o)*7e  
　　sin(π/2-α) = cosα =pihy_Dg  
d^ ,{%:  
　　cos(π/2-α) = sinα cY)Q [  
yDSwG=i{  
　　sin(π/2+α) = cosα 0"o 35w  
JsvCDr!i  
　　cos(π/2+α) = -sinα ' &2#d  
Zvm,l}  
　　sin(π-α) = sinα IeC>W(  
9$2wXq|z  
　　cos(π-α) = -cosα $hs[k/q1  
)y7#T*  
　　sin(π+α) = -sinα &1PA8W3S  
?]p gdl +  
　　cos(π+α) = -cosα se MR3I  
\{-  
　　tanA= sinA/cosA -]LRW$  
j&%jrFi  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ]b,j+o  
@v3U)m  
　　tan（π/2－α）＝cotα IYe|\u{a  
3tLsmW&S  
　　tan（π－α）＝－tanα J4~ >hpTL  
gES?3ooe 1  
　　tan（π＋α）＝tanα 5 p|b  
 W %mC}  
万能公式 l5:]gN"  
-gGHg% E  
　　 >[PGvz]D\  
3%T rtt  
其它公式 2JeA6r  
|Z{L)r!7\  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 sx/N" e3r  
km1E{um2  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 hg XN-wi5\  
lmP [\ %  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 hWgO8  
Y%z 13d<&  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ;62~8<  
n;)|h R  
　　对于任意非直角三角形,总有 iNk[=Eapu  
?Jw(~GE1  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC IK4lYzU  
kpA|?D  
　　证: \A u^l[>  
DUeU7W%{Z,  
　　A+B=π-C &msJ)oeX  
\ps!JJ$8y  
　　tan(A+B)=tan(π-C) c+;H7uh:  
*Sg6pVZI  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ^>d/n  
: R4tRQ  
　　整理可得 qj#;;\M@0  
zkZs/C  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $ Hz]s~}t  
Ucf9 -@  
　　得证 R/ W#+  
p|fo0 ~  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 'wKM_y)  
0J5NnII^$  
其他非重点三角函数 M>hW=,  
T+- IaxIg  
　　csc(a) = 1/sin(a) B_arhEi`  
"}s $  
　　sec(a) = 1/cos(a) GbV*=q  
SrqEv*e{D  
　　 no7-*(  
P (T 5s_v  
双曲函数 X%o5.bui  
e_R^ ',w  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ,)Jl,UL  
l3'lIaaJ~  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 pgPT]<c'  
z~3)i.-  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) jxOQNm+  
v|TE+2N=DB  
　　公式一： lO'@xuJ;  
Aufw}7b' `  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： bAX73VH+^y  
B[ts?&?D%V  
　　sin（2kπ＋α）= sinα GR r|N 0M!  
)Vs2x<  
　　cos（2kπ＋α）= cosα A}6O\8P7  
;KjK4!~ub  
　　tan（kπ＋α）= tanα /Yw#yt:w  
0GTl0sm  
　　cot（kπ＋α）= cotα QT1)= 7  
exJ`u#  
　　公式二： }U?;o/d6  
oFm:Z;'  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： o_<&Ay  
*3HDGtDj  
　　sin（π＋α）= -sinα j~$']1mR/  
TH=-3c(:  
　　cos（π＋α）= -cosα QEU 9j=-=  
9PlLeSz  
　　tan（π＋α）= tanα |RfO8{=W`n  
mxZF3_>  
　　cot（π＋α）= cotα MnZ [.tt  
fB|SP(  
　　公式三： Y cr?a+<  
.LCb[I_  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 8Q~-=oCV  
bm `$ht[  
　　sin（-α）= -sinα ID( z$K  
 _]e&;  
　　cos（-α）= cosα }?- 1$zCU  
Er8 ^pW9  
　　tan（-α）= -tanα 98n (   
FwL_ =n  
　　cot（-α）= -cotα n!~s+tSi  
n?R\e}S-p,  
　　公式四： aLe{>}'  
#m)'zg9  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： jixi\Jc  
vC`=8${j  
　　sin（π-α）= sinα r`~/&Jl9  
!uze5e5W9q  
　　cos（π-α）= -cosα _ R}" ?  
!`# T,  
　　tan（π-α）= -tanα y9o*0d qo  
yp!5R8rGK  
　　cot（π-α）= -cotα GTFb.drM  
@3:&Vt  
　　公式五：  -9@2kau^  
t.9$?x~N  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Aq.jcZ  
V!/#*QD)  
　　sin（2π-α）= -sinα y5~Y(%su&/  
6m3V3J  
　　cos（2π-α）= cosα \WCy6 4I  
LQj^"# WV  
　　tan（2π-α）= -tanα "@Lzo>8]K  
e<uXTE0m1d  
　　cot（2π-α）= -cotα 9AZA;*21  
s2m9@ ]T  
　　公式六： [bj5t[.29  
{.V'hI)  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： f8H5a#/   
$0i]Ul  
　　sin（π/2+α）= cosα #fH2e^Q@  
m@!NxIW  
　　cos（π/2+α）= -sinα -_k9 ]b_}  
"\@E +  
　　tan（π/2+α）= -cotα :OoV=k3|  
QI5|z5  
　　cot（π/2+α）= -tanα  [&B,.3  
*7V=|o$F  
　　sin（π/2-α）= cosα 0e0o=i4  
Q%)> ;F  
　　cos（π/2-α）= sinα IR<d$9   
0*lWx P F6  
　　tan（π/2-α）= cotα C*Y rLv-YS  
z<aA<4zi  
　　cot（π/2-α）= tanα AZT3@s$_G  
=0!4!XU?  
　　sin（3π/2+α）= -cosα K-|A/ZVL6  
?n-5l%.H  
　　cos（3π/2+α）= sinα `Qh.U>lKX  
M H7d B@o  
　　tan（3π/2+α）= -cotα d$ cG1Rq  
$2sMF{Lp  
　　cot（3π/2+α）= -tanα WR;% a7  
YKX'/XNe[  
　　sin（3π/2-α）= -cosα {a?E4YmM  
G@Yk e59  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ; Z87  
M#F,8<2u  
　　tan（3π/2-α）= cotα kRx{dD6HAz  
x"u/}5W"VC  
　　cot（3π/2-α）= tanα k"m,Kn]j83  
-, OUdFG  
　　(以上k∈Z) '_WA3Xq  
c;UW.:  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 "8X&{4d,  
)BC9g@?KO\  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = BI6]#(zR  
hGTQT=X>  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } RwCWC*vP  
v%dZhK\  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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